![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a(x-a)2 + b(x-b)2 = 0
<=> (a + b)x2 - (2a2 + 2b2)x + a3 + b3 = 0
Xét a + b = 0
<=> a = - b thì phương trình trở thành
0 = 0 (đúng)
Xét a \(\ne\)- b
Để có nghiệm duy nhất thì
∆ = (a2 + b2)2 - (a + b)(a3 + b3) = 0
<=> ab(a - b)2 = 0
<=> a = b
Vậy |a| = |b|
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
mk giải tắt thôi, k bt có đúng k nữa
\(a\left(a-x\right)^2+b\left(b-x\right)^2\left(1\right)\)
\(=\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+a^3+b^3\)
+) \(a+b=0\Rightarrow pt\left(1\right)\)có một nghiệm\(\Rightarrow|a|=|b|\)
+) \(a+b\ne0\)
Xét \(\Delta'=a^4+2a^2b^2+b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4\)
\(=2a^2b^2-ab^3-a^3b=ab\left(a-b\right)^2\)
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : \(\Delta'=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow|a|=|b|\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a(a−x)2+b(b−x)2 (1)
=(a+b)x2−2x(a2+b2)+a3+b3
+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|
+) a+b≠0
Xét Δ'=a4+2a2b2+b4−a4−ab3−a3b−b4
=2a2b2−ab3−a3b=ab(a−b)2
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|
Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với
\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)
Nếu \(a+b=0\) thì
\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )
\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)
Nếu \(a+b\ne0\)
PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Chúc bạn học tốt !!!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đặt biể thức cần chứng minh là P
\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)
\(t\)ương tự
\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c