Question

[levi]

cho a₁,a₂,...a₉ được  xác định bởi

a_k= (3k²+3k+1) / (k²+k)³

tính 1+a₁+a₂+...+a₉

Answer 1

[nguyen manh ha]

 \(a_k=\frac{3k^2+3k+1}{\left(k^2+k\right)^3}=\frac{k^3+3k^2+3k+1-k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{\left(k+1\right)^3}{k^3\left(k+1\right)^3}-\frac{k^3}{k^3\left(k+1\right)^3}=\frac{1}{k^3}-\frac{1}{\left(k+1\right)^3}\)

Thay giá trị cho k vào biểu thức trên được:

\(a1=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}\)

\(a2=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}\)

.....

\(a9=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}\)

Nên \(1+a1+a2+...+a9=1+\left(\frac{1}{1^3}-\frac{1}{2^3}\right)+\left(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}\right)+...+\left(\frac{1}{9^3}-\frac{1}{10^3}\right)=2-\frac{1}{10^3}=\frac{1999}{1000}\)