K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PT
2
C
21 tháng 9 2019
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(ab+bc+ac\right)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
Mà \(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+abc\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\)
nên \(a^4+b^4+c^4=4\left(ab+bc+ac\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\left(đpcm\right)\)
LH
2
HQ
13 tháng 6 2018
Ta có: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) ( BĐT Cauchy )
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{abc}{b}+\dfrac{abc}{c}+\dfrac{abc}{a}\)
Hay \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ac+ab+bc\left(đpcm\right)\)
13 tháng 6 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2\left(1\right)\)
\(\dfrac{b^3}{c}+bc\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b^3}{c}.bc}=2\sqrt{b^4}=2b^2\left(2\right)\)
\(\dfrac{c^3}{a}+ac\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c^3}{a}.ac}=2\sqrt{c^4}=2c^2\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\) ≥ \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ( * )
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\left(4\right)\)
\(b^2+c^2\) ≥ \(2bc\left(5\right)\)
\(c^2+a^2\) ≥ \(2ac\left(6\right)\)
Cộng từng vế của ( 4 ; 5 ; 6) , ta có :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ≥ \(2\left(ab+bc+ac\right)\) ( ** )
Từ ( * ; ** ) , ta có :
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\) ≥ \(2\left(ab+bc+ac\right)\)
⇔ \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\) ≥ \(ab+bc+ac\)
TN
2
AW
11 tháng 10 2017
a+b+c+d=0
=>a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d))
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (dpcm)
14 tháng 10 2017
Cho mk nói bạn Alan Walker chỉ là hs lớp 6 sao tài vậy
Nếu bạn ko biết làm thì thôi
Làm nhục anh em bạn ạ
BS
1
1 tháng 10 2019
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\)
\(=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\)
\(=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
28 tháng 6 2021
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
28 tháng 6 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
\(VT=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\)
\(=\left(b^2c+a^2c\right)+\left(a^2b+bc^2\right)+\left(ab^2+ac^2\right)\)
bđt AM-GM:
\(VT\ge2\sqrt{a^2b^2c^2}+2\sqrt{a^2b^2c^2}+2\sqrt{a^2b^2c^2}\)
\(=2abc+2abc+2abc=6abc=VP\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)