![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với a;b > 0 ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\dfrac{b}{\sqrt{a}}+\dfrac{a}{\sqrt{b}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\le\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\\ \Leftrightarrow a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\le a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\\ \Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\ge0\\ \Leftrightarrow a\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\left(a;b>0\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh với a;b >0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có :\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\left(a>0;b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b=a+b-2+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow ab-a-b=0\)(1)
ta lại có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=1\Leftrightarrow ab=a+b\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow a+b-a-b=0\Leftrightarrow0=0\)(luôn đúng)
=> đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
$\frac{1}{c}=-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})< 0$ do $a,b>0$
$\Rightarrow c< 0$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$
Từ đây ta có:
\((\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c})^2=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)}\)
\(=a+b+2c+2\sqrt{ab+bc+ac+c^2}=a+b+2c+2\sqrt{c^2}\)
\(=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2(-c)=a+b\)
\(\Rightarrow \sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{a+b}\) (do \(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\geq 0\))
Ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
khi đó:
\(P\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)=> \(\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy max P = 3 tại a = b = c =1.
Không thích làm cách này đâu nhưng đường cùng rồi nên thua-_-
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{y+z}=b;\sqrt{z+x}=c\) suy ra
\(x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\). Ta cần chứng minh:
\(abc\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Từ giả thiết ta có: `1/a+1/b+1/c=0=>ab+bc+ca=0`
Ta có:
`sqrt(a+c)+sqrt(b+c)=\sqrt(a+b)`
`=>(sqrt(a+c)+sqrt(b+c))^2=(sqrt(a+b))^2`
`<=>2c+2\sqrt((a+c)(b+c))=0`
`<=>2c+2\sqrt(ab+bc+ca+c^2)=0`
`<=>2\sqrt(c^2)+2c=0`
`<=>|c|+c=0(**)`
- Nếu `c>=0` thì `(**)<=>2c=0<=>c=0(` Mâu thuẫn với điều kiện toán học do không tồn tại `1/c=1/0)`
Vậy `c<0` do đó `(**)<=>0=0(` Luôn đúng `)`
Vậy ta có `đfcm`
Một cách đánh giá khác, bạn có thể tham khảo thêm. Đây là cách khác thôi chứ trên bài mình làm đầy đủ rồi nhé.
-------------
Từ giả thiết `a;b>0` và `1/a+1/b+1/c=0` ta suy ra `c<0`
( Vì nếu `c=0` thì `1/a+1/b+1/c` chưa được xác định do mẫu bằng `0` và `a,b,c>0` thì `1/a;1/b;1/c>0` nên dẫn đến `1/a+1/b+1/c>0` mâu thuẫn do vậy `c<0`)
-----
Bản chất nó vẫn là 1 nếu bạn ghi cái này lên trên đầu thì không phải xét `c>=0` nữa nhé. Không thì bạn cứ làm theo bài mình trên là đúng rồi, đây chỉ nói thêm thôi.
ta có :√a+b=√a−1+√b−1(a>0;b>0)a+b=a−1+b−1(a>0;b>0)
⇔a+b=a+b−2+2√(a−1)(b−1)⇔a+b=a+b−2+2(a−1)(b−1)
⇔√(a−1)(b−1)=1⇔(a−1)(b−1)=1
⇔(a−1)(b−1)=1⇔(a−1)(b−1)=1
⇔ab−a−b+1=1⇔ab−a−b=0⇔ab−a−b+1=1⇔ab−a−b=0(1)
ta lại có :1a+1b=1⇔a+bab=1⇔ab=a+b(2)1a+1b=1⇔a+bab=1⇔ab=a+b(2)
từ (1) và (2) ⇔a+b−a−b=0⇔0=0⇔a+b−a−b=0⇔0=0(luôn đúng)
=> đpcm