Question

[Trần Anh Kiệt]

cho a, b, c >0. Chứng minh (a^2/(b + c) + b^2/(c + a) + c^2/(c + a) >= (a + b + c)/2

Answer 1

[Trần Thùy Trang]

a^2 +b^2 +c^2 =1 chứ không phải là nhỏ hơn 0 . mình giải như sau 
a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 =1 
=>a^2 <1 ;b^2 <1 ; c^2 <1 

a/(b^2+c^2) + b/(a^2+c^2) + c/(b^2+a^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) 
<=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) 
ta cần chứng minh 
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 
ta có: 

a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 <=> 1/(1-a^2) >= (3√3)/2 .a 
<=> 1 >= (3√3)/2 .a(1-a^2) 
<=> 2/(3√3) >= a(1-a^2) 
<=> 4/27 >= a^2.(1-a^2)(1-a^2) (**) 
áp dụng bđt co sy cho 3 số dương 2a^2 ; 1-a^2 ; 1-a^2 
ta có: 
2a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= (2a^2 + 1-a^2 + 1-a^2)^3/27 = 8/27 
=> a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= 4/27 
=> (**) luôn đúng 
=> 
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 
tương tự ta có: 
b/(1-b^2) >= (3√3)/2 . b^2 
c/(1-c^2) >= (3√3)/2 .c^2 
=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) = (3√3)/2 

Answer 2

[Hoàng Phúc]

cần c/m bđt : a/b+c +b/a+c + c/a+b >= 3/2 với a,b,c>0 (nesbit) (*)

<=>(a/b+c + 1 ) + (b/a+c + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2 + 1 + 1 + 1

<=>(a+b+c)/b+c + (a+b+c)/a+c + (a+b+c)/a+b >= 9/2

<=> 2(a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9  

<=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9 (1)

Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c 

(1) <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9 

<=>(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 6

<=>(x/y+y/x-2)+(y/z+z/y-2)+(z/x+x/z-2) >= 0

<=>(x-y)²/xy+(y-z)²/yz+(z-x)²/zx >= 0(luôn đúng)

Vậy bdt (*) là đúng

trở lại bài toán : a²/b+c + b²/a+c + c²/a+b >= (a+b+c)/2

<=>(a²/b+c + a)+(b²/a+c + b)+(c²/a+b + c) >= 3/2(a+b+c)

<=>a(a+b+c)/b+c + b(a+b+c)/a+c + c(a+b+c)/a+b >= 3/2(a+b+c)

<=>a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2  (bđt (*))

Vậy có đpcm