Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}+\frac{a+b+ab}{b+1}\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge2a-\frac{a\left(b+1\right)+b}{b+1}=2a-a-\frac{b}{b+1}=a-\frac{b}{b+1}\)
Mặt khác:
\(\frac{b}{b+1}\le\frac{b+1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge a-\left(\frac{b+1}{4}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{b^2\left(c+1\right)}{b+c+bc}\ge b-\left(\frac{c+1}{4}\right)\)
\(\frac{c^2\left(a+1\right)}{c+a+ca}\ge c-\left(\frac{a+1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{a+1}{4}+\frac{b+1}{4}+\frac{c+1}{4}\right)=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{\left(a+b+c\right)+3}{4}\right)=3-\left(\frac{3+3}{4}\right)=\frac{3}{2}\)Vậy GTNN của P=3/2
(Thấy sai sai chỗ nào đó mà ko biết chỗ nào, ae thấy thì chỉ nhá )
đoạn bạn dùng cô si ấy hình như bị sai do nếu a=b=c=1 thì sao lại a^2(b+1)/(a+b+ab)=(a+b+ab)/(b+1)
Ta có:
\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a\left(a+1\right)}{8}+\frac{a\left(b+1\right)}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow LHS+\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(\ge\frac{a+b+c}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\)
Có ý tưởng đến đây thôi nhưng lại bị ngược dấu rồi :(
BĐT <=> \(\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+1+ab+bc+ac+a+c+b}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(ab+bc+ac+a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ac+a+b+c+2\right)\)
<=> \(ab+bc+ac+a+b+c\ge6\)(1)
(1) luôn đúng do \(ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3;a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Biến đổi tương đương ta có :
\(\frac{a}{\left(a+1\right).\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right).\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right).\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4.a.\left(c+1\right)+4.b.\left(a+1\right)+4.c.\left(b+1\right)\ge3.\left(a+1\right).\left(b+1\right).\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4.\left(a+b+c\right)+4.\left(ab+bc+ac\right)\ge3.a.b.c+3.\left(a+b+c\right)+3.\left(ab+bc+ca\right)+3\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\ge6\)
Sử dụng thêm bất đẳng thức Cauchy 3 số ta có :
a+b+c \(\ge\)3.\(\sqrt[3]{abc}\)và ab + bc + ca \(\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c =1
Mình áp dụng BĐT AM-GM đến dòng
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b\ge6\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta được
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[2]{\left(abc\right)^2}=3;a+b+c\ge3\sqrt[2]{abc}=3\)
Cộng từng vế BĐT ta được (1). Do vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Biến đối tương đương ta có:
\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4a\left(c+1\right)+4b\left(a+1\right)+4c\left(b+1\right)\ge3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)+4\left(ab+bc+ca\right)\ge3abc+3\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+3\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\ge6\)
Sử dụng thêm BĐT Cauchy 3 số ta có:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\\ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\end{cases}}\)
Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu "=" <=> a=b=c=1
\(P=\left[\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)
\(\ge\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}+1\right)\)
\(\ge\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}\right)^6}\right]\)
\(=\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ab}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4bc}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ca}\right)^2}\right]\)
\(=343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left(abc\right)^2}\right)^2}\ge343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^2}\right)^2}=343\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
P/s: Em chưa check lại đâu nha::D
Khúc cuối bài ban nãy là \(\ge343\) nha! Em đánh nhầm
Cách khác (em thử dùng Holder, mới học nên em không chắc lắm):
\(P\ge\left(3+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3=\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]}}\right)^3\ge343\)
Ta có:
\(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)(1)
Mặt khác:
\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ca\left(c+a\right)+6abc\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\frac{1}{abc}+3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\frac{1}{abc}+3.\left(-2\right)+6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=1\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\left(đpcm\right)\)
bạn cho mình hỏi thê thì dữ liệu a^3+b^3+c^3 không được dùng à