Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giúp mình 2 câu này với:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/1029791.html
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/1029793.html
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=\sum\frac{x}{3-yz}\le\sum\frac{2x}{6-\left(y^2+z^2\right)}=\sum\frac{2x}{x^2+x^2+y^2+z^2}\le\sum\frac{x^2+1}{x^2+1+2}\)
\(VT\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{x^2+1}{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(3+\frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhicopxki:
\(\left(\sqrt{\frac{1}{2}}^2+\sqrt{\frac{4}{3}}^2\right)\left(\left(\sqrt{2}x\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2\right)\ge\left(x+2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{6}\left(2x^2+3y^2\right)\ge\left(x+2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{44}{6}=\frac{22}{3}\ge\left(x+2y\right)^2\)(1)
Do x, y > 0 nên x + 2y > 0 do đó từ (1) suy ra \(x+2y\le\sqrt{\frac{22}{3}}\)(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\) ; \(\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)