K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 9 2018

Ta có : (a-b)^2 >=0
=> a^2 + b^2 - 2ab >= 0 (*)
Ta có: 2a(√b - 1/2)^2 >= 0 do a là số thực dương.
=> 2a(b - √b + 1/4) >= 0
=> 2ab - 2a√b +a/2 >= 0 (**)
Ta có: 2b(√a - 1/2)^2 >= 0 do b là số thực dương.
=> 2b(a - √a + 1/4) >=0
=> 2ab - ab√a + b/2 >= 0 (***)
Cộng (*), (**) và (***) vế theo vế, ta có:
a^2 + b^2 - 2ab + 2ab -2a√b + a/2 +2ab - 2b√a + b/2 >=0
a^2 + b^2 +2ab + (a +b)/2 - (2a√b + 2b√a) >= 0
=> (a + b)^2 + (a + b)/2 >= 2a√b + 2b√a (đpcm)

18 tháng 9 2018

k cho mình với nha mọi người

NV
13 tháng 1

Bunhiacopxki:

\(\left(b+a+a\right)\left(b+c+\dfrac{c^2}{a}\right)\ge\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a^2+ab}{\left(b+\sqrt{ca}+c\right)^2}\ge\dfrac{2a^2+ab}{\left(2a+b\right)\left(b+c+\dfrac{c^2}{a}\right)}=\dfrac{a^2}{c^2+ab+bc}\)

Tương tự:

\(\dfrac{2b^2+bc}{\left(c+\sqrt{ca}+a\right)^2}\ge\dfrac{b^2}{a^2+ab+bc}\)

\(\dfrac{2c^2+ca}{\left(a+\sqrt{bc}+b\right)^2}\ge\dfrac{c^2}{b^2+ac+bc}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a^2}{c^2+ab+ac}+\dfrac{b^2}{a^2+ab+bc}+\dfrac{c^2}{b^2+ac+bc}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

27 tháng 10 2021

TK: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b+ c = 3. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2a^2+\frac{7}{b^2}}+\sqrt{2b^2+\frac{7}{... - Hoc24

NV
28 tháng 3 2023

Áp dụng BĐT Mincopxki:

\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:

\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị

28 tháng 3 2023

thầy chỉ cho em hiểu rõ hơn dòng 4 với ạ 

18 tháng 3 2017

Ta có :\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

=\(\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{4}+b+\dfrac{1}{4}\right)\)

Áp dụng bđt cô si ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\),\(a+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a},b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)

do đó \(\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)}{2}\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Dấu "=" xảy ra khi:a=b=\(\dfrac{1}{4}\)

Vậy với a,b là các số thực dương ta có \(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

18 tháng 3 2017

\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[\left(a+\dfrac{1}{4}\right)\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\right]\ge2\sqrt{ab}\left(a+b\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

5 tháng 10 2019

Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)

Ta co:

\(\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\frac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tuong tu:

\(\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\frac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\frac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)

11 tháng 11 2018

Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{2a^2+2b^2+2c^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự ta có :

\(\dfrac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Cộng từng vế BĐT :

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

NV
9 tháng 4 2022

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=x\ge0\\b=y\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2y+4=\left(x+2\right)y\Rightarrow xy=4\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+2y}}{y+1}+\dfrac{1}{x+y+2}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{2x\left(x+2\right)}}{\sqrt{2}\left(x+1\right)}+\dfrac{\sqrt{2y\left(y+2\right)}}{\sqrt{2}\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{x+1+y+1}\)

\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{3x+2}{x+1}+\dfrac{3y+2}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3-\dfrac{1}{x+1}+3-\dfrac{1}{y+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)

\(P\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{x+y+2}{xy+x+y+1}=\dfrac{x+y+2}{x+y+5}=1-\dfrac{3}{x+y+5}\ge1-\dfrac{3}{2\sqrt{xy}+5}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}.\dfrac{2}{3}=...\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) hay \(\left(a;b\right)=\left(4;2\right)\)

19 tháng 6 2021

\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)

Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\)\(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

19 tháng 6 2021

bạn có thể lm rõ hơn ở chỗ tớ khoanh ko ạ ?

undefined