Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\tan A+\tan C=2\tan B\)
\(\Rightarrow\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin C}{\cos C}=2\frac{\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin A\cos C+\sin C\cos A}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos C}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin\left(A+C\right)}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin\left(180-II\right)}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\frac{\sin\left(B\right)}{\cos A\cos C}=\frac{2\sin B}{\cos B}\)
\(\Rightarrow\cos B=2\cos A\cos C\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=2\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow3c^2-2b^2=\frac{\left(2b^2-c^2\right)c^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow2b^4-b^2c^2-c^4=0\)
\(\Rightarrow\left(b^2-c^2\right)\left(2b^2+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow b=c\)
Thay vào điều kiện \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)ta thu được a = b = c , tam giác đều
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=> a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
<=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
=>a=b=c
=> tam giác đó đều
\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{1}{2}\)
Lại có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le1\)
