Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tính \(I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}}dx\left(1\right)\)
Đặt \(t=cosx\Rightarrow sinx=\sqrt{1-cos^2x}\)
\(\Rightarrow dt=-sinx.dx\)
\(\Rightarrow I=\int_0^1\dfrac{t^{2017}.}{\sqrt{1-t^2}.\left(\left(\sqrt{1-t^2}\right)^{2017}+t^{2017}\right)}dt\)
Đặt: \(t=siny\Rightarrow\sqrt{1-t^2}=cosy\)
\(\Rightarrow dt=cosy.dy\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y.cosy}{cosy\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}dy=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y}{\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x}{\left(cos^{2017}x+sin^{2017}x\right)}\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) ta được
\(2I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x+cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}x}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}1dx\)
\(=x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{\pi}{4}\)
Thế lại bài toán ta được
\(\dfrac{\pi}{4}+t^2-6t+9-\dfrac{\pi}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-6t+9=0\)
\(\Leftrightarrow t=3\)
Chọn đáp án C
mỗi trắc nghiệm thoy mà lm dài ntn s @@
chắc lên đó khó lắm ag
\(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}cos\left[ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right]dx\) hay \(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}cos\left[\frac{ln\left(1-x\right)}{1+x}\right]dx\)
Dù thế nào thì có lẽ người ra đề cũng nhầm lẫn, đây là 1 bài toán ko thể giải quyết trong chương trình phổ thông, nếu hàm là hàm sin chứ ko phải cos thì còn có cơ hội làm được trong chương trình 12
Tích phân sửa lại như sau thì giải quyết được bằng phương pháp thông thường:
\(A=\int\limits^{0.5}_{-0.5}sin\left[ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\right]dx\)
Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên chỉ cần đặt \(x=-t\) sau đó đổi biến và cộng lại là suy ra ngay lập tức \(A=0\)
\(B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{cos^3x}{cos^3x+sin^3x}dx\) (1)
Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(B=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^3t}{sin^3t+cos^3t}\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3t}{sin^3t+cos^3t}dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3x}{sin^3x+cos^3x}dx\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2):
\(2B=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{sin^3x+cos^3x}{sin^3x+cos^3x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0dx=\frac{\pi}{2}\Rightarrow B=\frac{\pi}{4}\)
c/ \(C=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{sinx}-\sqrt{cosx}\right)dx\) (1)
Đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(C=\int\limits^0_{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{cost}-\sqrt{sint}\right)\left(-dt\right)=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{cost}-\sqrt{sint}\right)dt=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}\right)dx\left(2\right)\)
Cộng vế với vế của (1) và (2):
\(2C=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sqrt{sinx}-\sqrt{cosx}+\sqrt{cosx}-\sqrt{sinx}\right)dx=0\)
\(\Rightarrow C=0\)
//Các dạng bài này đều giống nhau, nếu biểu thức đối xứng sin, cos và cận \(0;\frac{\pi}{2}\) thì đặt \(\frac{\pi}{2}-x=t\) rồi biến đổi và cộng lại
Câu 1:
\(\int\frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int\frac{sinx+cosx+sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx\)
\(=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\int\frac{d\left(sinx+cosx\right)}{sinx+cosx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}ln\left|sinx+cosx\right|+C\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\int cos^2xdx=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x\right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+C\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{1}{2}\\d=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I=5\)
Câu 2:
\(I=\int\left(sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right)dx=\int sin\left(lnx\right)dx-\int cos\left(lnx\right)dx=I_1-I_2\)
Xét \(I_2=\int cos\left(lnx\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{x}sin\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=x.cos\left(lnx\right)+\int sin\left(lnx\right)dx=x.cos\left(lnx\right)+I_1\)
\(\Rightarrow I=I_1-\left(x.cos\left(lnx\right)+I_1\right)=-x.cos\left(lnx\right)+C\)
b/ \(I=\int\limits sin\left(lnx\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sin\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{x}cos\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.sin\left(lnx\right)-\int cos\left(lnx\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{x}sin\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x\left[sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right]-I\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{2}x\left[sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right]|^{e^{\pi}}_1=\frac{1}{2}\left(e^{\pi}+1\right)\)
\(\Rightarrow a=2;b=\pi;c=1\)
Mình giải giúp b câu 1 này
Ở phần mẫu bạn biến đổi \(cos^2xsin^2x=\frac{1}{4}\left(4cos^2xsin^2x\right)=\frac{1}{4}sin^22x\)
Đặt t = sin2x => \(d\left(t\right)=2cos2xdx\)
Đổi cận \(x=\frac{\pi}{4}=>t=1\) \(x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta có biểu thức trên sau khi đổi biến và cận
\(\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{\frac{1}{2}dt}{\frac{1}{4}t^2}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{2}{t^2}dt=\left(-\frac{2}{t}\right)\)lấy cận từ 1 đến \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\left(-\frac{2}{1}\right)=2-4\frac{\sqrt{3}}{3}\) => a=2 và b=-4/3 vậy A=2/3 nhé
Câu 1)
Ta có:
\(I=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin ^2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\sin^2 x}-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos ^2x}=-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\cot x)-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\tan x)\)
\(=-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}-1 \right )-(\sqrt{3}-1)=2-\frac{4}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a+b=\frac{2}{3}\)
Đáp án C