Question

[Nguyễn Hoàng Minh Anh]

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A ; AB = 5 cm; BC = 8 cm ; đường cao AH; BD là đường trung tuyến; G là trọng tâm tam giác

a/ Tính AH và BG    

b/ Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với BC , đường thẳng này cắt BD tại E. Chứng minh AG = CE

c/ Chứng minh EA song song với CG

Answer 1

[Minh Hồng]

a) Ta có tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao 

\(\Rightarrow\) AH là trung tuyến \(\Rightarrow\) BH = CH = 4 (cm)

Áp dụng định lý Pytago: \(AB^2=AH^2+BH^2\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2=5^2-5^4=9\)

\(\Rightarrow AH=3\left(cm\right)\)

Do G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow G=AH\cap BD\) và \(GH=\dfrac{1}{3}AH=1\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pytago ta có:  

\(BG^2=BH^2+GH^2=4^2+1^2=17\Rightarrow BG=\sqrt{17}\left(cm\right)\)

b) Do \(CE\perp BC,AH\perp BC\Rightarrow CE//AH\)

Xét \(\Delta ADG\) và \(\Delta CDE\) có:

\(\widehat{ADG}=\widehat{CDE}\) (hai góc đối đỉnh)

\(AD=CD\) (do \(BD\) là trung tuyến)

\(\widehat{DAG}=\widehat{ECD}\) (hai góc so le trong)

\(\Rightarrow\Delta ADG=\Delta CDE\) (g.c.g) \(\Rightarrow AG=CE\) (hai cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CDG\) có:

\(DG=DE\) (hai cạnh tương ứng)

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDG}\) (hai góc đối đỉnh)

\(AD=CD\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CDG\) (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{CGD}\) mà 2 góc so le trong

\(\Rightarrow EA//CG\)