Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x^2+2y^2=m;y^2+2z^2=n;z^2+2x^2=p\)
Ta có :\(9\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)\left(m+n+p\right)\left(\frac{a^3}{m}+\frac{b^3}{n}+\frac{c^3}{p}\right)\ge\left(a+b+c\right)^3=1\)
do đó \(9\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\ge1\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{a^3}{x^2+2y^2}+\frac{b^3}{y^2+2z^2}+\frac{c^3}{z^2+2x^2}\right)\ge\frac{1}{9}\)(đpcm)
Xong rồi đấy,bạn k cho mình nhé
2/a/\(\Leftrightarrow9x^2-18x+9+y^2-6y+9+2z^2+4z+2=0\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\).Từ đó suy ra
\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-3=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\\z=-1\end{matrix}\right.\)
b/\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)
Ta có \(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ac}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bzx+cxy}{abc}=1\)
\(\RightarrowĐPCM\)
1/Mạn phép sửa đề :\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2+2x-2y-1=0\left(1\right)\\2x\left(x+y\right)=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1) và (2) đc \(x^2-2xy+y^2+2x-2y-1=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=0\)
Suy ra x-y=-1.Thế ngược lại vào 2 tìm đc x,y
.Nếu mà bạn giữ nguyên đề như vậy thì
Giải phương trình để tìm x bằng cách tìm a, b, và c
của phương trình bậc hai sau đó áp dụng công thức phương trình bậc hai. x=−1−√−3y2+6y+43 Lớp 9 x=−1+√−3y2+6y+43
a)có khả năng sai đề bài
b)Liệu có sai đề bài không
c)\(=\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{-\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)(phân số cuối có âm vì (1-x)=-(x-1)
\(=\frac{x^2+2+2x-2-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)(Hơi tắt)
\(=\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{x^2+x+1}\)
d)\(=\frac{x\left(x+2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}+\frac{x\left(x-2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}+\frac{4xy}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}\)
\(=\frac{x^2+2xy+x^2-2xy+4xy}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}\)
\(=\frac{2x^2+4xy}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}=\frac{2x\left(x+2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}=\frac{2x}{x-2y}\)
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
a) 9x2 + 4y2 = 20xy
<=> 9x2 - 20xy + 4y2 = 0
<=> 9x2 - 18xy - 2xy + 4y2 = 0
<=> 9x( x - 2y ) - 2y( x - 2y ) = 0
<=> ( x - 2y )( 9x - 2y ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2y=0\\9x-2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{9}{2}x\end{cases}}\)
Vì y < 3/2x => y = 1/2x
Từ đây bạn tự thay vào nhớ
b) Thêm điều kiện a,b,c là các số thực dương
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế các bđt trên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c