TR
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
I
29 tháng 3 2020
+) đặt \(a=x+\frac{1}{y};b=y+\frac{1}{x}\)
=> \(ab=\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)=xy+\frac{1}{xy}+2=>xy+\frac{1}{xy}=ab-2\)
+) khi đó thay zô hệ phương trình ta đc
\(\hept{\begin{cases}a+b=\frac{9}{2}\\\frac{1}{4}+\frac{3}{2}a=ab-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+2b=9\\-4ab+6a+9=0\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2b=9-2a\\-2a\left(9-2a\right)+6a+9=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2b=9-2a\\4a^2-12a+9=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2b=9-2a\\\left(2a-3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=3\end{cases}}}\)
+) trả zề biến x,y ta đc
\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\y+\frac{1}{x}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy-\frac{3}{2}y+1=0\\xy-3x+1=0\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(xy-\frac{3}{2}y+1\right)-\left(xy-3x+1\right)=0\\xy-3x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{3}{2}y+3x=0\\xy-3x+1=0\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\2x^2-3x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\2x^2-2x-x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=2x\\\left(x-1\right)\left(2x-1=0\right)\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}hoặc\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}}\)
+) thử lại ta thấy bộ số
\(\left(1;2\right);\left(\frac{1}{2};1\right)\)thỏa mãn hệ phương trình
zậy hệ phương trình có tập nghiệm (x,y) thuộc (1,2) ;(1/2 ;1)
10 tháng 8 2017
Ta có :
Đặt A=\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left(\left(\frac{x+y}{xy}\right).\frac{1}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+\frac{2.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3}\right)\)
=\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left(\frac{x+y}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+\frac{2\sqrt{xy}}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right)\)
=\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left(\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\right)\)
=\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\frac{1}{xy}\)
=\(\frac{xy.\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{xy\sqrt{xy}}\)
=\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)
=\(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}\)
=\(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{4-3}}\)
=\(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
=> \(A^2=\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2\)
=\(2-\sqrt{3}-2\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+2+\sqrt{3}\)
=\(4-2\sqrt{4-3}\)
=\(4-2\)
=\(2\)
=>\(A=\sqrt{2}\)
9 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 sô dương ta có: \(x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(y^2+zx\ge2y\sqrt{zx};z^2+xy\ge2z\sqrt{xy}\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được:
\(\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{zx}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\le\frac{x+y+z}{xyz}\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
9 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: \(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(y^2+zx\ge2y\sqrt{zx},z^2+xy\ge2z\sqrt{xy}\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được:
\(\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{zx}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\le\frac{x+y+z}{xyz}\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
9 tháng 3 2020
Cách 2:
Ta chuẩn hóa xyz=1
BĐT viết lại là \(\frac{x}{x^3+1}+\frac{y}{y^3+1}+\frac{z}{z^3+1}\le\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Ta sử dụng đánh giá
\(x-\frac{2x}{x^3+1}+\frac{3}{2}\ge\frac{9x^2}{2\left(x^2+x+1\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(2x^4+3x^2+7x+3\right)}{2\left(x^3+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\ge0\)
Do vậy ta cần c/m \(\frac{x^2}{x^2+x+1}+\frac{y^2}{y^2+y+1}+\frac{z^2}{z^2+z+1}\ge1\)
ta có \(\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(\frac{a^2}{bc};\frac{b^2}{ca};\frac{c^2}{ab}\right)\)
BĐT viết lại là \(\frac{a^4}{a^4+a^2bc+\left(bc\right)^2}+\frac{b^4}{b^4+b^2ca+\left(ca\right)^2}+\frac{c^4}{c^4+c^2ab+\left(ab\right)^2}\ge1\)
Theo bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)+\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2}\)
Theo bđt AM-GM ta có
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(ab\right)^2+2\left(bc\right)^2+2\left(ca\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=> x=y=z
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 9 2020
\(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{x^2.yz}}=\frac{1}{2\sqrt{xy.xz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^2+zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\right)\) ; \(\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)\)
Cộng vế với vế ta sẽ có đpcm
Mình làm theo \(x,y\in Z\)
Ta có\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1-\frac{1}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x+y\right)}{xy}=\frac{xy-1}{xy}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=xy-1\)
\(\Leftrightarrow2x+2y=xy-1\)
\(\Leftrightarrow xy-2x-2y=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-2\right)-\left(2y-4\right)=1+4\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-2\right)-2\left(y-2\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)=5\)
\(\Leftrightarrow x-2\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)
Ta có bảng sau: