Cho 0 ≤ a,b ≤ 1.
CM: ab2 - a2b ≤ \(\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
V
1
17 tháng 1 2021
BĐT \(\Leftrightarrow a^3-b^3+a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+ab\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(a\geq b\)).
CM
2 tháng 4 2018
Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái.
=> VT = VP (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
a/ \(VT=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
b/ \(VT\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}+\frac{c}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
TH
0
1 tháng 2 2020
a) (x-y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4) = x(x4+x3y+x2y2+xy3+y4)-y(x4+x3y+x2y2+xy3+y4) =(x5+x4y+x3y2+x2y2+xy4)-(x4y+x3y2+x2y2+xy4+y5) = x5+x4y+x3y2+x2y2+xy4-x4y-x3y2-x2y2-xy4-y5 =x5-y5⇒Điều cần chứng minh
Các câu b d tương tự
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 7 2020
BĐT sai khi \(a;b;c\) thuộc \(\left(0;1\right)\) và \(a;b;c\) không bằng nhau
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 6 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}\geq 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}.\frac{4}{a^2+b^2}}=\frac{4}{ab}=\frac{32(a^2+b^2)}{8ab(a^2+b^2)}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu:
\(8ab(a^2+b^2)=4.(2ab).(a^2+b^2)\leq (2ab+a^2+b^2)^2=(a+b)^4(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}\geq \frac{32(a^2+b^2)}{8ab(a^2+b^2)}\geq \frac{32(a^2+b^2)}{(a+b)^4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$