Cho các số thực x,y thỏa mãn : ( x + \(\sqrt{x^2+1}\)) ( y + \(\sqrt{y^2+1}\)) = 2
Tính M = x\(\sqrt{y^2+1}\)+ y\(\sqrt{x^2+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023
Lời giải:
$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2$
$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$
$\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+1})=2(x-\sqrt{x^2+1})$
$\Leftrightarrow 2x+\sqrt{y^2+1}=2\sqrt{x^2+1}-y$
$\Rightarrow (2x+\sqrt{y^2+1})^2=(2\sqrt{x^2+1}-y)^2$
$\Leftrightarrow 4x^2+y^2+1+4x\sqrt{y^2+1}=4(x^2+1)+y^2-4y\sqrt{x^2+1}$
$\Leftrightarrow 4(x\sqrt{y^2+1})+y\sqrt{x^2+1})=3$
$\Leftrightarrow 4Q=3$
$\Leftrightarrow Q=\frac{3}{4}$
H
6 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)
\(\left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\left(b+\sqrt{b^2+1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+\sqrt{b^2+1}=\sqrt{a^2+1}-a\\a+\sqrt{a^2+1}=\sqrt{b^2+1}-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}=\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}-a-b\)
\(\Rightarrow a+b=0\)
\(\Rightarrow x+2+y-1=0\)
\(\Rightarrow x+y=-1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023
Lời giải:
$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1-xy$
$\Rightarrow (1+x^2)(1+y^2)=(1-xy)^2$ (bp 2 vế)
$\Leftrightarrow x^2+y^2=-2xy$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=0\Leftrightarrow x=-y$.
Khi đó:
$M=(x+\sqrt{1+(-x)^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)$
$=1+x^2-x^2=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)
BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)
Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:...
\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
13 tháng 7 2018
ĐKXĐ: x,y >1
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\\ \)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}+\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\right).\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right).\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+5\right)-\left(y^2+5\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{\left(x-1\right)-\left(y-1\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
13 tháng 7 2018
Giả sử x=y
Khi đó:
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2\)
\(=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{x-1}+y^2\)
Luôn đúng
Vậy ta suy ra đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 11 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x\sqrt{2020-y^2}+y\sqrt{2020-z^2}+z\sqrt{2020-x^2}\leq \frac{x^2+(2020-y^2)}{2}+\frac{y^2+(2020-z^2)}{2}+\frac{z^2+(2020-x^2)}{2}=3030\)Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{\begin{matrix} x^2=2020-y^2\\ y^2=2020-z^2\\ z^2=2020-x^2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=\sqrt{1010}\)
Khi đó:
$A=3(\sqrt{1010})^2=3030$
T
14 tháng 11 2019
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(2^2+\frac{1}{2^2}\right)\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{4}{17}\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)Rồi tương tự các kiểu...
Suy ra \(M\ge\sqrt{\frac{4}{17}}\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]\ge\sqrt{\frac{4}{17}}\left(2.4+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}\right)=\sqrt{17}\)
"=" <=> x = y = 2
Is that true?