Question

[lục nhất sinh]

cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm O có AD là đường cao của tam giác ABC. Từ D vẽ DE vuông góc với AC tại E và DF vuông góc với AB tại F.

a) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và góc AFE = góc ADE.

b) Tia EF cắt tia CB tại M. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và MB.MC=MF.ME.

c) Đoạn thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N (khác A). Tia ND cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh 5 điểm A,N,F,D,E cùng thuộc 1 đường tròn và OI vuông góc FE

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a. Em tự giải

b.

Ta có \(\widehat{ACB}=\widehat{ADE}\) (cùng phụ \(\widehat{CDE}\))

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{AFE}\) (theo câu a)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AFE}\) (1)

Lại có \(\widehat{AFE}+\widehat{BFE}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{BFE}=180^0\)

\(\Rightarrow BCEF\) nội tiếp

\(\widehat{AFE}=\widehat{MFB}\) (đối đỉnh) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\widehat{MFB}=\widehat{ACB}\) hay \(\widehat{MFB}=\widehat{MCE}\)

Xét 2 tam giác MFB và MCE có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MFB}=\widehat{MCE}\left(cmt\right)\\\widehat{FMB}-chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MFB\sim\Delta MCE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{ME}=\dfrac{MF}{MC}\Rightarrow MB.MC=MF.ME\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

c.

Bốn điểm A, N, B, C cùng thuộc (O) \(\Rightarrow\widehat{MAC}+\widehat{NBC}=180^0\)

Mà \(\widehat{NBC}+\widehat{MBN}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{MBN}=\widehat{MAC}\)

Xét hai tam giác MBN và MAC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BMN}-chung\\\widehat{MBN}=\widehat{MAC}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MBN\sim\Delta MAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{MN}{MC}\Rightarrow MB.MC=MA.MN\)

Kết hợp câu b \(\Rightarrow ME.MF=MA.MN\) \(\Rightarrow\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{MA}{MF}\)

Xét 2 tam giác MEA và MNF có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EMA}-chung\\\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{MA}{MF}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MEA\sim\Delta MNF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MEA}=\widehat{MNF}\)

Mà \(\widehat{MNF}+\widehat{ANF}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{MEA}+\widehat{ANF}=180^0\)

\(\Rightarrow ANFE\) nội tiếp

Kết hợp câu a \(\Rightarrow A,N,F,D,E\) cùng thuộc 1 đường tròn

Cũng do 5 điểm nói trên cùng thuộc 1 đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AND}=\widehat{AFD}=90^0\) (cùng chắn AD)

\(\Rightarrow\widehat{ANI}=90^0\)

\(\Rightarrow AI\) là 1 đường kính của (O) hay A, I, O thẳng hàng

Qua A kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Ta có \(\widehat{BAx}=\widehat{ACB}\) (cùng chắn AB) (3)

Từ (1);(3) \(\Rightarrow\widehat{BAx}=\widehat{AFE}\)

\(\Rightarrow Ax||EF\) (hai góc so le trong bằng nhau)

Mà \(Ax\perp AI\Rightarrow EF\perp AI\)

Hay \(EF\perp OI\) (do A, O, I thẳng hàng)