Tìm \(x,y,z\in Z^+\) thỏa mãn: \(\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:
\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)
với a;b;c;d là các số dương
bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)
Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé
ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự ta cm được
\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)
dấu "=" khi x=y=z
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(3=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le1\)
Ta lại có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{3}{\sqrt[6]{xyz}}\ge\frac{3}{1}=3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cô - si ngược dấu :
\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(x-2010\right)}\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2010}-1\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\le\frac{1}{4}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-2010=4\\x-2011=4\\z-2012=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2015\\z=2016\end{cases}}}\)
+\(\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-y+z}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x-y+z+y+2\sqrt{xy-y^2+zx}=x+z+2\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{xy-y^2+zx}=2\sqrt{zx}\Leftrightarrow xy-y^2+zx=zx\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow x=y\text{ (do }y\ne0\text{)}\)
+\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx-xyz=0\)\(\Leftrightarrow x^2+zx+zx-x^2z=0\Leftrightarrow x\left(x+2z-xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+2z-xz=0\text{ (do }x\ne0\text{)}\)\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(z-1\right)=2=-1.\left(-2\right)=1.2\)
Do x, z nguyên nên có các trường hợp sau:
+\(x-2=-1\Leftrightarrow x=1\text{ và }z-1=-2\Leftrightarrow z=-1\text{ (loại do }z>0\text{)}\)
+\(x-2=1\Leftrightarrow x=3\text{ và }z-1=2\Leftrightarrow z=3\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(3;3;3\right)\)
+\(x-2=-2\Leftrightarrow x=0\text{ và }z-1=-1\Leftrightarrow z=0\text{ (loại do }x,z\ne0\text{)}\)
+\(x-2=2\Leftrightarrow x=4\text{ và }z-1=1\Leftrightarrow z=2\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(4;4;2\right)\)
Kết luận: \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;3\right);\left(4;4;2\right)\)
tớ chưa lên lớp 8 nên ko bít làm