tìm min M biết
\(M=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)với a,b,c,d là các số thực dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 5 2017
Ta có : (a+b)/(a+b+c)<(a+b)/(a+b+c+d) ; (b+c)/(b+c+d)<(b+c)/(a+b+c+d) ; (c+d)/(c+d+a)>(c+d)(a+b+c+d) ; (a+d)/(a+b+d)>(a+d)(a+b+c+d)
Cộng 4 bất đẳng thức trên rồi rút gọn vế phải sẽ ra kết quả như đề bài
Trên trường tui không nghĩ ra về nhà mới phát hiên ra được
11 tháng 5 2017
Cho mk hỏi bạn TMDuc va TNVuong thi cùng trường à. Sao lại có bài chung thế.
NT
18 tháng 7 2018
Ta có : 2a + b + c+ d / a - 1 = a + 2b + c + d / b - 1 = a + b + 2c + d / c - 1 = a + b + c +2d / d - 1
=> a + b + c + d / a = a + b + c + d / b = a + b + c + d / c = a + b + c + d / d
Xét 2 trường hợp :
TH1: a + b + c + d = 0
=> a + b = - ( c + d ) ; b + c = - ( a + d ) ; c + d = - ( a + b )
Khi đó M = ( -1 ) . 4 = -4
TH2 : a + b + c + d khác 0
=> a = b = c = d
Khi đó M = 1 . 4 = 4
Vậy M = 4 hoặc M = - 4
10 tháng 4 2018
à bài này mk có thi chọn hsg cấp trường nè mk cũng đang cần người giải bài này
10 tháng 4 2018
chiều nay mk mới thi ko bt làm các bn giúp mk với nha
ai giải xong đầu tiên mk tk cho
LC
28 tháng 12 2015
a/b+c+d>a/a+b+c+d
b/a+c+d>b/a+b+c+d
c/a+b+d>c/a+b+c+d
d/a+b+c>d/a+b+c+d
mả a+b+c+d/a+b+c+d=1
=>a/b+c+d+b/a+c+d+c/a+b+d+d/a+b+c> hoac =1
Vay...
7 tháng 4 2017
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
MD
11 tháng 11 2018
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
11 tháng 11 2018
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh
PV
2
23 tháng 9 2017
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)với \(x>0,y>0\)thì
\(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}\ge\frac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)\(\left(1\right)\)
Tương tự :\(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)\(\left(2\right)\)
Cộng\(\left(1\right)\)với \(\left(2\right)\)được
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge\frac{a\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ad+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}=4B\)
Cần chứng minh \(B\ge\frac{1}{2}\), bất đẳng thức này tương dương với
\(2B\ge1\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu "="xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\b=d\end{cases}}\)
VT
23 tháng 9 2017
ta đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{ad+db}\)
Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\)
mặt khác ta có
\(\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\right]^2=\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
\(=a^2+c^2+b^2+d^2+2ac+2bd+2\left(ab+ad+bc+cd\right)=a^2+c^2+b^2+d^2+ab+ad+cb+cd+\left(2ac+2bd+ab+ad+cb+cd\right)\)
đến đây cậu dùng cô si ta có
\(a^2+c^2\ge2ac;b^2+d^2\ge2bd\)
cộng vào ta sẽ ra điêu phải chứng minh
cách hơi cùi một chút nhưng chắc là vẫn được
ta có:
\(M+4=\left(\frac{a-d}{d+b}+1\right)+\left(\frac{d-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c-a}{d+a}+1\right)\)
\(=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+d}{d+a}\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\ge\left(a+b\right).\frac{4}{a+b+c+d}+\left(c+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)
\(\Rightarrow M+4\ge4\Rightarrow M\ge0\)
vậy min M=0 khi a=b=c=d