Cminh \(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 9 2017
Áp dụng BẤt đăng thức Cô si ta có \(\sqrt{x^2+x+1}\le\frac{x^2+x+1+1}{2}\left(1\right)\)
\(\sqrt{x^2-x+1}\le\frac{x^2-x+1+1}{2}\left(2\right)\)
Cộng (1),(2) lại ta có \(x^2+2\ge2\left(đpcm\right)\)
7 tháng 10 2023
a:
ĐKXĐ: x>=5/2
\(\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=7\sqrt{2}\)
=>\(\sqrt{2x-4+2\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x+4+6\cdot\sqrt{2x-5}}=14\)
=>\(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}=14\)
=>\(\sqrt{2x-5}+1+\sqrt{2x-5}+3=14\)
=>\(2\sqrt{2x-5}+4=14\)
=>\(\sqrt{2x-5}=5\)
=>2x-5=25
=>2x=30
=>x=15
b: \(x^2-4x=\sqrt{x+2}\)
=>\(x+2=\left(x^2-4x\right)^2\) và x^2-4x>=0
=>x^4-8x^3+16x^2-x-2=0 và x^2-4x>=0
=>(x^2-5x+2)(x^2-3x-1)=0 và x^2-4x>=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\\x=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)
31 tháng 7 2020
- Đề bài có SAI hoặc NHẦM gì đó nên mình sửa lại rồi chú ý gửi câu hỏi đúng lần sau bạn nhớ
Ta có : \(P=\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}\)
=> \(P=\frac{\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}}{\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}-\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}}\)
=> \(P=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}}\)
=> \(P=\frac{\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1}\)
=> \(P=\frac{2\sqrt{x-1}}{2}=\sqrt{x-1}\)
24 tháng 1 2020
Q=\(\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}}\)(x\(\ge2\))
\(=\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}\right)^2}{\left(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}\right)\left(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}\right)}\)
=\(\frac{2x+2\sqrt{\left(x+\sqrt{2x-1}\right)\left(x-\sqrt{2x-1}\right)}}{2\sqrt{2x-1}}\)
=\(\frac{x+\sqrt{x^2-2x+1}}{\sqrt{2x-1}}=\frac{x+\sqrt{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{2x-1}}\) \(=\frac{x+x-1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{2x-1}{\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2x-1}\)
vậy \(Q=\sqrt{2x-1}với\)\(x\ge2\)
~ happy new year~
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 12 2016
Xét hàm \(y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\) . Ta có:
\(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}+\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=0\Leftrightarrow x=0\) ( bạn có thể giải PT này bằng cách quy đồng kết hợp với liên hợp)
Ta thấy rằng \(x\mapsto \infty \Rightarrow y\mapsto +\infty \) nên hàm không tồn tại max. Do đó hàm $y$ đạt min tại $x=0$, tức là \(y_{min}=2\)
Suy ra BPT trên luôn đúng với mọi $x$ thuộc tập xác định, tức là với mọi $x\in\mathbb{R}$
KV
1
8 tháng 12 2019
ta có \(\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{x-2}+1\right|+\left|\sqrt{x-2}-1\right|\)
Vì \(x\ge2\Rightarrow\sqrt{x-2}\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}+1\ge1\\\sqrt{x-2}-1\ge-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\sqrt{x-2}+1\right|\ge1\\\left|\sqrt{x-2}-1\right|\ge1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-2}+1\right|+\left|\sqrt{x-2}-1\right|\ge2\)
Hay A\(\ge2\) Dấu = xảy ra khi x=2
=> đpcm
Đặt \(K=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Rightarrow K=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)
Áp dụng BĐT Minkopski:
\(K\ge\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-x\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{1+3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=0