Cho hai đường tròn tâm \(O\) và tâm \(O'\) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung trong \(EF\) và tiếp tuyến chung ngoài \(AB\) \(\left(A,E\in\left(O\right);B,F\in\left(O'\right)\right)\).
\(a\)) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \(EF\). Chứng minh rằng \(\Delta AOM\) và \(\Delta BMO'\) đồng dạng.
\(b\)) Chứng minh rằng \(AE\) vuông góc với \(BF\).
\(c\)) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AE\) và \(BF\). Chứng minh rằng \(O,N,O'\) thẳng hàng.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Ta có AB = AE + BE = EM + EN
Và CD = FD + FC = NF + NE
=> AB + CD = 2EF => AB = EF
b, Ta có EM = AB – EB = EF – EN = NF
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi giao điểm của O1O2 và CD là I.
Ta thấy rằng \(\Delta O_1CI\sim\Delta O_2DI\) theo tỉ số đồng dạng là \(k=\frac{O_1C}{O_2D}=\frac{5}{2}\)
Đặt \(ID=2x\left(cm\right)\Rightarrow IC=5x\Rightarrow CD=7x\Rightarrow AB=1,5.7x=10,5x\)
Theo Pitago ta cũng có \(O_1I=\sqrt{25x^2+25};O_2I=\sqrt{4x^2+4}\left(1\right)\)
Xét hình thang vuông ABO2O1 , kẻ O2H vuông góc với AO1 , ta tính được \(HO_1=5-2=3\left(cm\right)\)
Vậy thì \(O_1O_2^2=O_2H^2+HO_1^2\Rightarrow O_1O_2=\sqrt{110,25x^2+9}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sqrt{110,25x^2+9}=\sqrt{25x^2+25}+\sqrt{4x^2+4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{110,25x^2+9}=5\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{110,25x^2+9}=7\sqrt{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow110,25x^2+9=49x^2+49\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{32}{49}\Rightarrow O_1O_2=7.\sqrt{\frac{32}{49}+1}=9\left(cm\right)\)
Vậy O1O2 = 9 cm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét (O) có
ID,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IO là phân giác của góc DIA
=>\(\widehat{DIA}=2\cdot\widehat{OIA}\)
Xét (O') có
IA,IE là các tiếp tuyến
Do đó: IO' là phân giác của góc AIE
=>\(\widehat{AIE}=2\cdot\widehat{AIO'}\)
Ta có: \(\widehat{DIA}+\widehat{EIA}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\left(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{OIO'}=180^0\)
=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)
b: Xét (O) có
ID,IA là các tiếp tuyến
Do đó: ID=IA
Xét (O') có
IA,IE là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IE
Ta có: IA=IE
ID=IA
Do đó: ID=IE
=>I là trung điểm của DE
=>I là tâm đường tròn đường kính DE
Xét ΔDAE có
AI là bán kính
\(AI=\dfrac{DE}{2}\)
Do đó: ΔADE vuông tại A
=>A nằm trên (I)
Xét (I) có
IA là bán kính
O'O\(\perp\)IA tại A
Do đó: OO' là tiếp tuyến của (I)
=>O'O là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Kẻ O’H ⊥ OA; O’K ⊥ OC
OH = 4; OK = 8
Đặt CD = x => AB = 2x
O O ' 2 = 64 + x 2
và O O ' 2 = 16 + 4 x 2
=> x = 4 => OO' = 80 cm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
Mà OB ⊥ BC ⇒ IM ⊥ BC
Ta có:
IM ⊥ BC
BC ⋂ (I; IM) = {M}
Suy ra, BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính IM