Cho a,b là các số dương thảo a + b + 2ab =12
Tìm GTNN của A= a + b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SW
1
28 tháng 5 2021
Ta có \(12=a+b+2ab\le a+b+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)-24\ge0\Leftrightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-4\right)\ge0\Leftrightarrow a+b\ge4\) (Do a + b + 6 > 0)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 2.
NT
1
28 tháng 5 2021
\(A=a+b=12-2ab\ge12-2\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=12-\frac{A^2}{2}\)
Vậy \(A^2+2A-24\le0\)
\(-6\le A\le4\)
Vậy \(A_{min}=-6\)
P
1
17 tháng 7 2021
\(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+2ab+b^2}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=b=\dfrac{1}{2}\)
DM
2
7 tháng 11 2017
Ta có : (a-b)^2 >= 0 với mọi a,b
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+2ab+b^2 >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Với a,b > 0 thì ta chia 2 vế cho ab .(+b) được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=>1/a + 1/b >=4ab
Áp dụng bđt trên thì A >= 4/(a^2+b^2+2ab) = 4/(a+b)^2 >= 4/1^2 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> a=b ; a+b =1 <=> a=b=1/2
Vậy Min A = 4 <=> x = y= 1/2
DA
19 tháng 4 2022
`a+ble1<=>(a+b)^2le1`
Áp dụng bđt `1/(a)+1/bge4/(a+b)` ta có:
`Age4/(a^2+2ab+b^2)=4/(a+b)^2=4/1=4`
Dấu `=` xảy ra khi:`a^2+b^2=2ab<=>(a-b)^2=0<=>a=b` và `a+b=1`
`<=>a=b=1/2`
Vậy GTNN của `A=4` khi và chỉ khi `a=b=1/2`
T
18 tháng 2 2020
Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)
Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:
\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)
\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)
\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)
P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.
T
18 tháng 2 2020
Cách khác:
Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)
\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)
P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 9 2021
Biểu thức này không tồn tại cả GTLN lẫn GTNN (chỉ tồn tại nếu a;b;c không âm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1 2022
Ta có đánh giá sau:
\(\dfrac{a^3}{\left(1-a\right)^2}\ge\dfrac{4a-1}{4}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(4a^3-\left(4a-1\right)\left(1-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(1-b\right)^2}\ge\dfrac{4b-1}{4}\) ; \(\dfrac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge\dfrac{4c-1}{4}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)-3}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(P_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
A
Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn \(a+b\le1\) . Tìm GTNN của
\(A=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$
Theo AM - GM :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow a+b+2ab\le\dfrac{a^2+b^2+2ab+2a+2b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+2a+2b\ge24\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+6\right)\left(a+b-4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow A\ge4\) (do a,b dương)
Dấu"=" \(\Leftrightarrow a=b=2\)