Question

[DUTREND123456789]

Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm C nằm giữa A và O . Vẽ đường tròn (I) có đường kính CB

a) Xét vị trí tương đối của 2 đường tròn (O) và (I)

b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC . Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao ?

c) Gọi K là giao điểm của DB là đường tròn (I) . Chứng minh rằng 3 điểm E,C,K thẳng hàng

d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (I)

*******BÀI NÀY VẼ HÌNH HƠI KHÓ NÊN CẦN CẢ HÌNH********

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: OI+IB=OB

=>OI=OB-IB

=>\(OI=R-r\)

=>Hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau tại B

b: Ta có: ΔODE cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của DE

Xét tứ giác ADCE có

H là trung điểm chung của AC và DE

=>ADCE là hình bình hành

Hình bình hành ADCE có AC\(\perp\)DE

nên ADCE là hình thoi

c: Xét (I) có

ΔCKB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCKB vuông tại K

=>CK\(\perp\)KB tại K

=>CK\(\perp\)DB tại K

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE\(\perp\)BE tại E

Ta có: ADCE là hình thoi

=>AE//CD

mà AE\(\perp\)EB

nên CD\(\perp\)EB

Xét ΔDEB có

BH,DC là các đường cao

BH cắt DC tại C

Do đó: C là trực tâm của ΔDEB

=>EC\(\perp\)DB

mà CK\(\perp\)DB

và EC,CK có điểm chung là C

nên E,C,K thẳng hàng

d:

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

Xét tứ giác DHCK có \(\widehat{DHC}+\widehat{DKC}=90^0+90^0=180^0\)

nên DHCK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HKC}=\widehat{HDC}\)

mà \(\widehat{HDC}=\widehat{ADH}\)(DH là phân giác của góc ADC do ADCE là hình thoi)

nên \(\widehat{HKC}=\widehat{ADH}\)

mà \(\widehat{ADH}=\widehat{ABD}\left(=90^0-\widehat{DAB}\right)\)

nên \(\widehat{HKC}=\widehat{ABD}\)

Ta có: IC=IK

=>ΔICK cân tại I

=>\(\widehat{ICK}=\widehat{IKC}\)

\(\widehat{HKI}=\widehat{HKC}+\widehat{IKC}\)

\(=\widehat{ABD}+\widehat{ICK}\)

\(=\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^0\)

=>HK\(\perp\)KI tại K

=>HK là tiếp tuyến tại K của (I)