Question

[nguyễn thái bảo]

(x-3)^2=(y+5)(y+6) tìm x,y thuộc z

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Nếu $x-3=0$ thì $x=3; y=-5$ hoặc $y=-6$ (tm)

Nếu $x-3\neq 0$ thì $y+5\neq 0; y+6\neq 0$.
Dễ thấy $(y+5,y+6)=1$. Mà $(y+5)(y+6)=(x-3)^2$ là scp nên $|y+5|, |y+6|$ cũng là các scp.

Ta xét các TH sau: 

TH1: $y+5>0, y+6>0$:

Đặt $y+5=m^2, y+6=n^2$ với $m,n$ là số tự nhiên.

$\Rightarrow (y+6)-(y+5)=n^2-m^2$

$\Leftrightarrow 1=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$

Mà $m,n$ là số tự nhiên nên: $n+m=1\Rightarrow n-m=1$

$\Rightarrow n=1\Rightarrow y+6=1\Rightarrow y=-5$ (loại) do $y+5>0$

TH2: $y+5<0; y+6<0$:

Đặt $y+5=-m^2, y+6=-n^2$

$\Rightarrow 1=m^2-n^2=(m-n)(m+n)$

$\Rightarrow m+n=1; m-n=1\Rightarrow m=1\Rightarrow y=-6$

$\Rightarrow y+6=0$ (loại do $y+6<0$)

Vậy............