Question

[Hưng Nguyễn]

tính tổng các bình phương của 100 số tự nhiên liên tiếp:

                     \(1^2\)+ \(2^2\) + \(...\)+ \(99^2+100^2\)

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Ta có : 1² + 2² + 3² + ..... + 99² + 100²

= 1.1 + 2.2 + 3.3 + ..... + 99.99 + 100.100

= 1(2 - 1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ..... + 99.(100 - 1) + 100(101 - 1)

= 1.2 - 1 + 2.3 - 2 + 3.4 - 3 + ..... + 99.100 - 99 + 100.101 - 100

= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100 + 100.101) - (1 + 2 + 3 + ..... + 99 + 100)

Bước này mk làm tắt nếu bạn muốn hiểu tình đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 100.101 , B = 1  + 2 + 3 + ..... + 100 rồi tính ra nhé : 

= 343400 - 5050

= 338350

Answer 2

[Cô Hoàng Huyền]

Bạn Trung làm đúng. Cô giới thiệu cách chứng minh công thức tổng quát tính tổng \(A=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) bằng quy nạp.

Với n = 1, ta thấy công thức trên đúng.

Giả sử công thức trên đúng với n = k, tức là:\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)

Ta cần chứng minh \(1^2+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\)

Thật vậy : \(VT=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\left(k+1\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}=VP\)

Vậy nên ta đã chứng minh được  \(A=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Thay vào ta có : \(1^2+2^2+...+100^2=\frac{100.101.201}{6}=338350\)