a,b>0 thỏa \(\left(a+b\right)^3+4ab\le12\):
cm:\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\le2016\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 4 2017
Ta có:
\(12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\)
\(\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab\)
\(\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1\)
Vì \(ab\leq 1\) nên ta có BĐT
\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+2015ab\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\le2016\)
Cần chỉ ra \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}=1\)
\(\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
T/B; bận leo rank nên bài làm hơi lộn xộn, khó hiểu chỗ nào mai sẽ giải thích 
thanks sir
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 10 2019
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3xz}{x+z}+\frac{z^3xy}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
Ta có: \(12\ge\left(a+b\right)^3+4ab\ge a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+4ab\)
\(\ge4ab\left(a+b\right)+4ab\ge8\sqrt{a^3b^3}+4ab\)
\(\Leftrightarrow3\ge2\sqrt{a^3b^3}+ab\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(2ab+2\sqrt{ab}+3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab\le1\). Ta có BĐT \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\le\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\le0\) đúng với \(ab\le1\)
Áp dụng BĐT vừa c/m trên ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\le\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\)
Cần chứng minh \(\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\le2016\)
\(\Leftrightarrow2015\sqrt{ab}\left(ab-1\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab}-1\right)+2014ab\le2014\) ( luôn đúng do \(ab\le1\))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)