Chứng minh rằng diện tích tứ giác nhỏ hơn tích hai đường chéo ?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lê Cảnh Bảo Long bn tham khảo nha:
a, Chứng minh rằng trong một tứ giác, mỗi đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó .
Phải là: mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi tứ giác đó
cho tứ giác ABCD ta có AC< AB + BC (1) ( trong tam giác tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh thứ 3)
và AC<AD+DC (2) (như trên) , cộng hai bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2)
=>2AC < AB + BC + AD + DC = 2p => AC<p chứng minh tương tự ta cũng có BD < p
b, Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm)
* giao của AC và BD là O.
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có:
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giải
Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD
Ta cần chứng minh: \(S_{FGH}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)
\(S_{FGH}=S_{FAD}-S_{FAG}-S_{FDH}-S_{AGD}-S_{DGH}\)
\(=S_{AFD}-\frac{1}{2}\left(S_{FAC}+S_{FBD}\right)-\frac{1}{2}S_{ACD}-\frac{1}{2}S_{DGB}\)
\(=S_{ACD}+S_{ABC}+S_{FBC}-\frac{1}{2}\left(S_{ABC}+S_{FBC}+S_{DBC}+S_{FBC}\right)-\frac{1}{2}S_{ACD}\)
\(-\frac{1}{2}\left(S_{ACD}+S_{ABC}-S_{ADG}-S_{ABG}-S_{DBC}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(S_{ADG}+S_{ABG}\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left(S_{ACD}+S_{ABC}\right)=\frac{1}{4}S_{ABCD}\left(đpcm\right)\)
Giải
Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD
Ta cần chứng minh: SFGH=12 SABCD
SFGH=SFAD−SFAG−SFDH−SAGD−SDGH
=SAFD−12 (SFAC+SFBD)−12 SACD−12 SDGB
=SACD+SABC+SFBC−12 (SABC+SFBC+SDBC+SFBC)−12 SACD
−12 (SACD+SABC−SADG−SABG−SDBC)
=12 (SADG+SABG)=12 .12 (SACD+SABC)=14 SABCD(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo cách đặt giao của AC, BD là O của bạn Khôi thì phần 1 có thể CM như sau:
Áp dụng công thức BĐT trong tam giác thì:
\(AD< AO+OD\)
\(BC< BO+OC\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên:
\(AD+BC< AO+CO+BO+DO=AC+BD\)
Còn đoạn "Theo câu 1 thì AC < p và BD < p$ là không có cơ sở em nhé.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ∆ OAB, ta có:
OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ∆ OCD, ta có:
OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)
* Trong ∆ ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
* Trong ∆ OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
* Trong ∆ ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
* Trong ∆ ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Theo bất đẳng thức tam giác , ta có : \(AO+OB>AB\)
\(OB+OC>BC\)
\(OC+OD>CD\)
\(OD+OA>AD\)
\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)
- Tương tự, ta có : \(AC< AB+BC\) ; \(AC< AD+CD\)
\(BD< AB+AD\) ; \(BD< BC+CD\)
\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+AD\right)\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+AD\)
Vậy ta có : \(\frac{AB+BC+CD+AD}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)
gợi ý thôi chứng minh thì mình hơi ngại
Bạn nối hai đường chéo và vẽ 2 đường vuông góc từ 2 đỉnh đối nhau xuống cùng 1 đường chéo
Tích của đường vuông góc đo với đường chéo chia 2 là S tam giác
Tổng S 2 tâm giác đó là S tứ giác
Đường chéo còn lại chia làm 2 phần và mỗi phần đều dài hơn hoặc bằng 2 đường vuông góc
(bằng <=> 2 đường chéo vuông góc)
rồi bạn suy luận tiếp đi