Cho M=\(\frac{1}{14}+\frac{1}{29}+\frac{1}{50}+\frac{1}{77}+...+\frac{1}{1877}\)
Chứng minh rằng: 0,15<M<0,25
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(A=\frac{1}{14}+\frac{1}{29}+...+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2}+...+\frac{1}{1877}\)
\(=\frac{1}{1^2+2^2+3^2}+\frac{1}{2^2+3^2+4^2}+...+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2}+...+\frac{1}{24^2+25^2+26^2}\)
\(B=n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2=3n^2+6n+5\left(1\right)\)
+ Với \(n\ge1\)từ (1) ta có \(B\le3n^2+9n+6=3\left(n^2+3n+2\right)=3\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)Từ đó
\(A>\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\frac{1}{24\cdot25}+\frac{1}{25\cdot26}\right)=\frac{1}{3}C\)
Với \(C=\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\frac{1}{24\cdot25}+\frac{1}{25\cdot26}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}=\frac{1}{2}-\frac{1}{26}=\frac{6}{13}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{13}=\frac{2}{13}>0,15\)
+ Với \(n\ge1\)từ (1) ta có \(B>2n^2+6n+4=2\left(n^2+3n+2\right)=2\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\frac{1}{24\cdot25}+\frac{1}{25\cdot26}\right)=\frac{1}{2}C\)
Với \(C=\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\frac{1}{24\cdot25}+\frac{1}{25\cdot26}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}=\frac{1}{2}-\frac{1}{26}=\frac{6}{13}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{13}=\frac{3}{13}< 0,25\)
Vậy \(0,15< A< 0,25\)
Ta có: \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{50}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{50}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{25}\right)\)
\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\) (đpcm)
*đpcm = điều phải chứng minh
Ta có:
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{50}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{50}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{25}\right)\)
\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+...+\frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)
Tham khảo nha bạn :
Câu hỏi của Trần Minh Hưng - Toán lớp | Học trực tuyến
Ta có: \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}\)
\(-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{50}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{25}\right)=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{50}\)
Ta biến đổi vế phải :
1-1/2+1/3-1/4+.....+1/49-1/50
=(1+1/3+1/5+....+1/49)-(1/2+1/4+1/6+.......+1/50)
=(1+1/2+1/3+.....+1/49+1/50)-2(1/2+1/4+1/6+......+1/50)
=(1+1/2+...+1/50)-(1+1/2+1/3+....+1/25)
=1/26+1/27+.......+1/50
Vậy 1/26+1/27+1/28+.....+1/50=1-1/2+1/3-1/4+......+1/49-1/50
Mình không bấm phân số được mong mấy bạn thông cảm
Bn tham khảo nhé:
Câu hỏi của Hoàng Phú - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
~ rất vui vì giúp đc bn ~
giúp mình với