Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Đường cao AK của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D (khác A). Từ D vẽ đường thẳng song song BC cắt (O) tại điểm E (khác D).a) Chứng minh: KA.KD = KB.KCb) Trên đoạn AK lấy điểm H sao cho K là trung điểm của HD. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.c) Chứng minh A, O, E thẳng hàng. Tính AB2 + BD2 + DC2 + CA2 theo...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Đường cao AK của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D (khác A). Từ D vẽ đường thẳng song song BC cắt (O) tại điểm E (khác D).
a) Chứng minh: KA.KD = KB.KC
b) Trên đoạn AK lấy điểm H sao cho K là trung điểm của HD. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
c) Chứng minh A, O, E thẳng hàng. Tính AB2 + BD2 + DC2 + CA2 theo R
a/ Xét tg vuông ABK và tg vuông CDK có
\(\widehat{AKB}=\widehat{CKD}=90^o\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{DCB}\) (góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung BD)
=> tg ABK đồng dạng với tg CDK \(\Rightarrow\frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KD}\Rightarrow KA.KD=KB.KC\)
b/ Nối CH cắt AB tại I
Xét tg CDH có
\(CK\perp DH\) (đề bài) => CK là đường cao
\(KH=KD\) (đề bài) => CK là đường trung tuyến
=> tg CDH cân tại C (tg có đường cao đồng thời là đường trung tuyến => tg đó là tg cân)
\(\Rightarrow\widehat{KCD}=\widehat{KCH}\) (trong tg cân đường cao đồng thời là đường phân giác) (1)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) (2)
Xét tg vuông CKD có \(\widehat{KCD}+\widehat{ADC}=90^o\) (3)
Từ (1) (2) (3) => \(\widehat{KCH}+\widehat{ABC}=90^o\Rightarrow\widehat{BIC}=90^o\Rightarrow CH\perp AB\)
Mà \(AH\perp BC\)
=> H là trực tâm của tg ABC
c/
Ta có tg ADE là tg nội tiếp đường tròn (O)
Ta có
\(BC\perp AD\)
DE//BC
\(\Rightarrow DE\perp AD\Rightarrow\widehat{ADE}=90^0\) => AE là đường kính đường tròn (O) => DE đi qua O => A; O; E thẳng hàng