Chuwnggs minh rằng : \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)\(\forall a\in R\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
Đề bài bạn ghi ko chính xác
Đề đúng có vẻ là \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)
19 tháng 6 2018
1) Bất đẳng thức cần chứng minh
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 + d2 + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)
Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng
Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương
( ac + bd )2 \(\le\) ( a2 + b2 )( c2 + d2 )
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh
19 tháng 6 2018
2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)
Từ câu 1) ta có :
\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)
NN
5
20 tháng 3 2020
Ta thấy : \(a^2\ge0\forall a\)
=> \(a^2+2\ge2\forall a\)
Mà \(\sqrt{a^2+1}>0\)
=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) ( đpcm )
20 tháng 3 2020
\(\begin{align} & \frac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\forall a\in \mathbb{R} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+1 \right)-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+1}-1 \right)}^{2}}\ge 0 \text{(luôn đúng)} \\ \end{align} \)
TM
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
\(P=\frac{a\left(\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}\right)}{\sqrt{\left(a-1\right)^2}}\)
\(=\frac{a\left(\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}-1\right)}{a-1}=\frac{2a\sqrt{a-1}}{a-1}=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}\)
\(P-4=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}-4=\frac{2\left(a-2\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a-1}}=\frac{2\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}{\sqrt{a-1}}\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge4\)
\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a^2+1+1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)
\(\forall a\inℝ\)
ta có: a2 + 2 \(\ge\)\(2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Rightarrow\)a2 + 1 -\(2\sqrt{a^2+1}\)+ 1 \(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(\(\sqrt{a^2+1}\)- 1)2 \(\ge\)0 (luôn đúng)