Cho \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)
chứng minh \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DT
Đoàn Trần Quỳnh Hương
21 tháng 12 2022
Đúng(1)
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}=2\) (1)
\(VP=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow VT< VP\)
8 tháng 12 2021
\(a,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\\ b,\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)
HP
24 tháng 2 2021
Hình như thế này mới đúng chứ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\)
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2.\dfrac{a}{c};\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2.\dfrac{b}{a};\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2.\dfrac{c}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)
11 tháng 12 2017
\(A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a+b}{c}\)
\(A=\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\right)\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\) (bất đẳng thức Nesbit)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:
\(A\ge\dfrac{3}{2}+2\sqrt{\dfrac{ab}{ab}}+2\sqrt{\dfrac{ac}{ac}}+2\sqrt{\dfrac{bc}{bc}}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+2+2+2=\dfrac{15}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu"=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
13 tháng 11 2021
a+b−cc=b+c−aa=c+a−bb
⇒a+b−cc+1=b+c−aa+1=c+a−bb+1
⇒a+bc=b+ca=c+ab
+)Nếu a+b+c=0⇒a+b=−c;b+c=−a;c+a=−b
⇒B=a+ba.c+ac.b+cb=−ca.−bc.−ab=−(abc)abc=−1
Nếu a+b+c≠0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
a+bc=b+ca=c+ab=2(a+b+c)a+b+c=2
⇒a+b=2c
b+c=2a
c+a=2b
⇒B=2ca.2bc.2ab=2.2.2=8
2 tháng 6 2017
Đặt \(\dfrac{a}{b}=x;\dfrac{b}{c}=y;\dfrac{c}{a}=z\). Dễ thấy rằng
\(\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{1+xy}{1+y}=x+\dfrac{1-x}{1+y}\)
Thiếp lập các hệ thức tương tự, bài toán trở về chứng minh với \(xyz=1\) có:
\(\dfrac{x-1}{y+1}+\dfrac{y-1}{z+1}+\dfrac{z-1}{x+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(z+1\right)+\left(y^2-1\right)\left(x+1\right)+\left(z^2-1\right)\left(y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2z+z^2y+y^2x+x^2+y^2+z^2\ge x+y+z+3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2z+z^2y+y^2x\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^3}=3\)
Vậy còn phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)
Điều này đúng vì \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge x+y+z\)
