Question

[Nguyễn Đình Dũng]

cho hàm số y = \(\frac{^{x^2-2mx+3m-2}}{x-1}\)

a. Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm đồ thị và Ox vuông góc với nhau

b. Pt y'=0 có 2 nghiệm x1,x2. Gọi A(x0;y0); B(x2;y2). Tìm M để k/c từ gốc toạ độ đến đường thẳng AB = \(\sqrt{2}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Điều kiện: \(x\ne1\)

a) Xét phương trình: \(\frac{x^2-2mx+3m-2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-2=0\)\(\left(x-1\ne0\right)\)

Pt có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>2\\m< 1\end{cases}}\)

Khi đó \(\hept{\begin{cases}x_1=m-\sqrt{m^2-3m+2}\\x_2=m+\sqrt{m^2-3m+2}\end{cases}}\)

+) \(x_1,x_2\ne1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\\m+\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\end{cases}\Leftrightarrow m\ne1}\)

+) Tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm với trục Ox vuông góc với nhau

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y'\left(x_1\right)=-1\left(1\right)\\y'\left(x_2\right)=1\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x_1-2m\right)\left(x_1-1\right)-\left(x_1^2-2mx_1+3m-2\right)}{\left(x_1-1\right)^2}=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{m-1}{\left(x_1-1\right)^2}=2\Rightarrow m-1=2\left(m-\sqrt{m^2-3m+2}-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[1-2\left(2m-3-2\sqrt{m^2-3m+2}\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{m^2-3m+2}=4m-7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ge\frac{7}{4}\\m=\frac{17}{8}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{17}{8}\)(t/m m>2 v m<1)

Giải (2) cho ra \(m=1\)(loại). Vậy m cần tìm là \(m=\frac{17}{8}.\)