Chứng minh: ( a^2 + b^2 + c^2 )( x^2 + y^2 + z^2 ) >= ( ax + by + cz )^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BM
1
20 tháng 8 2019
Phá ngoặc hết ra rồi phân tích thành tổng 3 bình phương.
Câu hỏi của nguyễn ngọc minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
S
8 tháng 11 2018
Đặt \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+cz\left(z-x\right)}\)
Từ ax+by+cz=0
=>(ax+by+cz)2=0
=>a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2bycz+2czax=0
=>a2x2+b2y2+c2z2=-2(ax+by+byca+czax)
Xét mẫu thức: \(ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2\)
\(=ab\left(x^2-2xy+y^2\right)+bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ca\left(z^2-2zx+x^2\right)\)
\(=abx^2-2abxy+aby^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2+caz^2-2cazx+cax^2\)
\(=\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(aby^2+acz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)-2\left(abxy+bcyz+cazx\right)\)
\(=\left(aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)
\(=\left(a^2x^2+aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+b^2y^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2+c^2z^2\right)\)
\(=a\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+b\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+c\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
Do đó: \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2018}}=2018\) (dpcm)
26 tháng 2 2016
nhan 2 ve voi a^2+b^2+c^2 dc toan binh phuong ,lon hon 0 nen x=y=z=0
15 tháng 7 2017
CÁCH 1: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
CÁCH 2: Nhân tung tóe cả 2 vế ra(đây cũng là cách CM bất đẳng thức bunhia cho bộ 3 số)
FK
3
5 tháng 8 2020
Với a; b ; c khác 0
Ta có:
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x^2}{ax}=\frac{y^2}{by}=\frac{z^2}{cz}=\frac{ax}{a^2}=\frac{by}{b^2}=\frac{cz}{c^2}\)(1)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x^2}{ax}=\frac{y^2}{by}=\frac{z^2}{cz}=\frac{x^2+y^2+z^2}{ax+by+cz}\)(2)
\(\frac{ax}{a^2}=\frac{by}{b^2}=\frac{cz}{c^2}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)(3)
Từ (1) ; (2) ; (3)
=> \(\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{ax+by+cz}\)
=> \(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
5 tháng 8 2020
Do: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) => \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b};\frac{y}{b}=\frac{z}{c};\frac{z}{c}=\frac{x}{a}\)
<=> \(ay=bx;bz=cy;az=cx\)
<=> \(\left(ay-bx\right)=0;bz-cy=0;az-cx=0\)
<=> \(\left(ay-bx\right)^2+\left(yc-bz\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
<=> \(a^2y^2+b^2x^2+y^2c^2+b^2z^2+a^2z^2+c^2x^2=2abxy+2bcyz+2cazx\)
<=> \(a^2y^2+b^2x^2+y^2c^2+b^2z^2+a^2z^2+c^2x^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2cazx\)<=> \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
=> Ta có ĐPCM
4 tháng 1 2018
\(ax+by+cz=0\Rightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2\left(axby+bycz+axcz\right)\)
Ta co
\(\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bc\left(y-z\right)^2+ac\left(z-x\right)^2+ab\left(x-y\right)^2}\)
\(=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bcy^2-2bcyz+bcz^2+acz^2-2aczx+acx^2+abx^2-2abxy+aby^2}\)
\(=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bcy^2+bcz^2+acz^2+acx^2+abx^2+aby^2-2\left(axby+bcyz+axcz\right)}\)
\(=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bcy^2+bcz^2+acz^2+acx^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}\)
\(=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(acx^2+abx^2+a^2x^2\right)+\left(bcy^2+aby^2+b^2y^2\right)+\left(c^2z^2+acz^2+bcz^2\right)}\)
\(=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{ax^2\left(a+b+c\right)+by^2\left(a+b+c\right)+cz^2\left(a+b+c\right)}\)
\(=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\dfrac{1}{a+b+c}\) ( dpcm)
NN
0
vô tkhđ xem hình nhé