Question

[hoang khiem pham]

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax; By của nửa (O). Gọi C là điểm trên nửa (O) sao cho AC > BC. Tiếp tuyến tại C của nửa (O) cắt Ax; By lần lượt tại D; E.

a) Chứng minh: Tam giác ABC vuông và AD + BE = ED.

b) Chứng minh: 4 điểm A; D; C; O cùng thuộc 1 đường tròn và  gócADO = gócCAB.

                c) DB cắt nửa (O) tại F và cắt AE tại I. Tia CI cắt AB tại K. Chứng minh: IC = IK.

d) Tia AF cắt tia BE tại N, gọi M là trung điểm của BN. Chứng minh: 3 điểm A; C; M thẳng hàng.

Answer 1

[Lê Anh Tú]

a) 
► Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm, ta có: 
AC = CM ; BD = MD 
=> AC + BD = CM + MD = CD 
► Câu trên có thể cm trực tiếp bằng cách nối OC => hai tgiác ACO và MCO bằng nhau (vì tgiác vuông, có chung cạnh huyền, OA=OM=R) 
=> OC là tia phân giác của góc AO^M 
tương tự: OD cúng là phân giác cua góc BO^M 
AO^C + CO^M + DO^M + DO^B = 180o 
=> 2.CO^M + 2DO^M = 180o 
=> CO^M + DO^M = CO^D = 90o 
► tgiác COD vuông có OM là đường cao, hệ thức lượng: 
CM.MD = OM² 
=> AC.BD = R² (cm trên: AC=CM; BD=MD; OM=R) 
► ad toilet với chú ý AC//BD 
NC/NB = AC/BD = CM/MD 
định lí đảo talet => MN//AC 
► có: MN//AC//BD => hai tgiác CBD và CNM đồng dạng 
=> CD/CM = DB/MN 
=> CD.MN = CM.DB 
► gọi K là trung điểm CD 
do tgiác OCD vuông tại O => K là tâm đường tròn ngoại tiếp tgíc OCD 
OK là đường trung bình của hình thang ABDC => OK//AC//BD 
=> OK vuông góc AB tại O 
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn (OCD) 

b) 
► ta đã cm: AC+BD = CD 
=> AC+BD nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất 
Có Ax //By, C thuộc Ax, D thuộc By 
=> CD nhỏ nhất khi CD vuông góc vơi Ax và By 
khi đó ta có ABDC là hình chữ nhật 
=> M là điểm chính giữa của cung AB 
► tứ giác ABDC thường là hình thang vuông, gọi diện tích là S 
S = (1/2)AB.(AC+BD) = (1/2).AB.CD 
vì AB cố định nên S nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất 
như câu trên có M là điểm chính giữa cung AB 

c) tgiac OAM cân tại O, lại có OE là phân giác => OE vuông AM 
tương tự OF vuông BM, mà CO^D= 90o 
=> EOFM là hình chữ nhật 
=> I là trung điểm EF cũng là trung điểm OM 
=> OI = OM/2 = R/2 
I di động nhưng luôn có OI = R/2 không đổi 
=> I thuộc đường tròn cố định: tâm O bán kính r = R/2 
** giới hạn: M chỉ di động trên nữa đường tròn (O,R) => I chỉ di động trên nữa đường tròn (O,r) nằm cùng phía với (O,R) so với AB 
<< phần giới hạn là khuyến mãi thêm, vì đề chỉ yêu cầu cm I thuộc một đường tròn cố định, không phải tìm quỉ tích >> 

d) dùng định lí Melanus là nhanh nhất: có ngay E,N,F thẳng hàng => EF/AB = ME.MA = MN/MJ = 1/2 
=> MN = MJ/2 = NJ 

Answer 2

[Cô Hoàng Huyền]

Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của My Trấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Câu c) Đã có IK // AD thì ta vận dụng Ta let và thấy ngay : 

\(\frac{IC}{AD}=\frac{IK}{AD}\Rightarrow IC=IK\)