Cho 1/x +1/y +1/z =0
Tính A=xyz(1/x^3 + 1/y^3 +1/z^3)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 1 2021
Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
MA
1
KB
6 tháng 4 2019
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 2 2023
Lời giải:
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b; \frac{1}{z}=c$ thì bài toán trở thành:
Cho $a+b+c=0$. Tính $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$
-----------------
Ta có:
$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$. Khi đó:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3}{abc}$
$=\frac{(-c)^3-3ab(-c)+c^3}{abc}=\frac{-c^3+3abc+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3$
VH
1 tháng 12 2019
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{yz}\) ;\(\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{zx}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{x+y+z}.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)xyz}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z>0\)
1 tháng 12 2019
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 10 2021
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
LH
1
19 tháng 10 2015
\(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
=> \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)
Hai cái còn lại tương tự
=> A \(\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{x+y+z}\cdot\frac{x+y+z}{xyz}=1\)
Vậy MAx A = 1 tại x = y = z = 1
18 tháng 11 2017
do x,y,z là các số dương nên
\(x^2-xy+y^2\ge xy\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
tương tự ta cũng có : \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\)
\(z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\Sigma\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\left(đpcm\right)\)
LH
0
ta có : a+b+c=0 => (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 (đoạn này bạn tự nhân ra rồi rút gọn nhé)
=> a3+b3+c3-3abc=0 => a3+b3+c3= 3abc
thay a=\(\frac{1}{x}\);b=\(\frac{1}{y}\);c=\(\frac{1}{z}\)
=>\(\frac{1}{x^3}\)+\(\frac{1}{y^3}\)+\(\frac{1}{z^3}\)=3.\(\frac{1}{xyz}\)
A=xyz(\(\frac{1}{x^3}\)+\(\frac{1}{y^3}\)+\(\frac{1}{z^3}\)) = xyz .3 . \(\frac{1}{xyz}\)=3