cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=4. tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2+y2+ \(\frac{33}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
21 tháng 8 2018
Đáp án D
Cho x,y > 0 thỏa mãn 2 ( x 2 + y 2 ) + x y = ( x + y ) ( 2 + x y ) ⇔ 2 ( x + y ) 2 - ( 2 + x y ) ( x + y ) - 3 x y = 0 (*)
Đặt x + y = u x y = v ta đc PT bậc II: 2 u 2 - ( v + 2 ) u - 3 = 0 gải ra ta được u = v + 2 + v 2 + 28 v + 4 4
Ta có P = 4 ( x 3 y 3 + y 3 x 3 ) - 9 ( x 2 y 2 + y 2 x 2 ) = 4 ( x y + y x ) 3 - 9 ( x y + y x ) 2 - 12 ( x y + y x ) + 18 , đặt t = ( x y + y x ) , ( t ≥ 2 ) ⇒ P = 4 t 3 - 9 t 2 - 12 t + 18 ; P ' = 6 ( 2 t 2 - 3 t + 2 ) ≥ 0 với ∀ t ≥ 2 ⇒ M i n P = P ( t 0 ) trong đó t 0 = m i n t = m i n ( x y + y x ) với x,y thỏa mãn điều kiện (*).
Ta có :
t = ( x y + y x ) = ( x + y ) 2 x y - 2 = u 2 v - 2 = ( v + 2 + v 2 + 28 v + 4 ) 2 16 v - 2 = 1 16 ( v + 2 v + v + 4 v + 28 ) 2 - 2 ≥ 1 16 ( 2 2 + 32 ) 2 - 2 = 5 2
Vậy m i n P = P ( 5 2 ) = 4 . ( 5 2 ) 2 - 9 ( 5 2 ) 2 - 12 . 5 2 + 18 = - 23 4
PN
12 tháng 5 2021
Áp dụng bất đẳng thức Svacxo và bất đẳng thức \(\frac{1}{4ab}\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)ta có :
\(Q=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}+\frac{4}{2xy}=2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{8}{4xy}\)
\(\ge2\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{8}{\left(x+y\right)^2}=\frac{2.4}{2^2}+\frac{8}{2^2}=\frac{16}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Vậy min Q = 4 khi x = y = 1
4 tháng 3 2021
Điểm rơi: \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Ta tách biểu thức được như sau: \(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\)
\(\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}=2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta lại có:
\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\geq 3\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
3 tháng 5 2019
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
4 tháng 5 2019
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)