Question

[Bùi Quang Minh]

b. B=1^3+2^3+3^3+...+10^3
mn giúp em với :(

Answer 1

[Yen Nhi]

\(B=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3\)

\(=1+8+27+64+125+216+343+512+729+1000\)

\(=\left(1+729\right)+\left(8+512\right)+\left(27+343\right)+\left(64+216\right)+125+1000\)

\(=730+520+370+280+125+1000\)

\(=\left(730+370\right)+\left(520+280\right)+125+1000\)

\(=1100+800+125+1000\)

\(=3025\)

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

Tổng quát, với \(n\) nguyên dương:

 \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\dfrac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\). (*)

Chứng minh: 

Dễ thấy (*) đúng với \(n=1\).

Giả sử (*) đúng với \(n=k>1\), tức là \(1^3+2^3+...+k^3=\dfrac{\left(k^2+k\right)^2}{4}\).

Ta sẽ chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\) tức là

 \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2=\dfrac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

Thật vậy, ta có: 

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\dfrac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2.\dfrac{k^2+4\left(k+1\right)}{4}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)^2.\left(k+2\right)^2}{4}=\dfrac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\).

Theo nguyên lí quy nạp toán học thì (*) đúng với mọi số nguyên dương \(n\).