Question

[Le Thi Khanh Huyen]

Không sử dụng bất cứ định lý / nguyên lý nào cả, tìm số dư của \(2013^{2016}\)cho \(2016\).

Answer 1

[Bùi Thị Vân]

Ta không thể áp dụng định lý Fermat nhỏ ngay được vì 2013 va 2016 không là hai số nguyên tố cùng nhau. Cô gợi ý một cách để có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(2013^{2016}=\left(-3\right)^{2016}\left(mod2016\right)=3^{2016}\left(mod2016\right)\)
\(2016=2^5.3^2.7\).
Gọi x là số dư của \(3^{2016}\)khi chia cho 2016. Ta suy ra:
                                  .\(\hept{\begin{cases}3^{2016}=x\left(mod2^5\right)\\3^{2016}=x\left(mod3^2\right)\\3^{2016}=x\left(mod7\right)\end{cases}}\)
Nhận xét: \(3^8=1\left(mod2^5\right)\),\(3^6=1\left(mod7\right)\), \(3^{2016}=0\left(mod3^2\right)\). Do 2016 đều chia hết cho 8,6 nên:
                                  \(\hept{\begin{cases}3^{2016}=1\left(mod2^5\right)\\3^{2016}=1\left(mod7\right)\\3^{2016}=0\left(mod3^2\right)\end{cases}}\)
Như vậy: 
                                  \(\hept{\begin{cases}x=1\left(mod2^5\right)\\x=1\left(mod7\right)\\x=0\left(mod3^2\right)\end{cases}}\)
Từ đó suy ra : \(x-1=BC\left(2^5,7\right)\).và x chia hết cho 9, x < 2016.
Từ đó ta tìm được x = 225.
Đây là trường hợp đặc biệt nên ta áp dụng cách tìm bội chung của lớp 6 nếu giả sử rơi vào trường hợp sau:
  \(\hept{\begin{cases}x=5\left(mod2^5\right)\\x=6\left(mod7\right)\\x=2\left(mod3^2\right)\end{cases}}\)thì các bạn có thể áp dụng định lý số dư Trung Hoa.

Answer 2

[Vongola Famiglia]

áp dụng "=] chả vại còn gì, trong trường hợp quá bí" ta có:

số chia là 2016 

Vì số dư nhỏ hơn số chia =2015

Xét 2015 trường hợp ta có:....