Cho \(a,b,c>1\) . \(CMR:\)
\(\frac{4a^2}{a-1}+\frac{5b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\ge48\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
1
19 tháng 5 2018
Ta có : ( x - 2 )2 \(\ge\)0 \(\Leftrightarrow\)x2 - 4x + 4 \(\ge\)0
\(\Rightarrow\) x2 \(\ge\)4x - 4 \(\Rightarrow\)x2 \(\ge\)4 . ( x - 1 ) \(\Rightarrow\)\(\frac{x^2}{x-1}\)\(\ge\)4
\(\Rightarrow\frac{4a^2}{a-1}+\frac{5b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\ge4.4+5.4+3.4=48\)
SL
5
19 tháng 5 2018
Thôi làm luôn nãy h chém nhiều mỏi tay quá. Bổ sung điều kiện a;b;c>1
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{4a^2}{a-1}-16\right)+\left(\dfrac{5b^2}{b-1}-20\right)+\left(\dfrac{3c^2}{c-1}-12\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4a^2-16a+16}{a-1}+\dfrac{5b^2-20b+20}{b-1}+\dfrac{3c^2-12c+12}{c-1}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\left(a-2\right)^2}{a-1}+\dfrac{5\left(b-2\right)^2}{b-1}+\dfrac{3\left(c-2\right)^2}{c-1}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" khi \(a=b=c=2\)
4 tháng 4 2017
a) Ta có:
\(\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4(*)
\(\Leftrightarrow\) a2 \(\geq\) 4.(a-1)
\(\Leftrightarrow\) a2 \(\geq\) 4a-4
\(\Leftrightarrow\) a2-4a+4 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-2)2 \(\geq\) 0(**)
Ta có BĐT(**) luôn đúng nên suy ra BĐT(*) luôn đúng
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=2
B) Áp dụng câu a ta được:
\(\dfrac{4a^2}{a-1}=4.\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4.4=16(1)
\(\dfrac{5b^2}{b-1}=5.\dfrac{b^2}{b-1}\) \(\geq\) 5.4=20(2)
\(\dfrac{3c^2}{c-1}=3.\dfrac{c^2}{c-1}\) \(\geq\) 3.4=12(3)
Cộng các BĐT(1),(2),(3) ta được
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\) \(\geq\) 16+20+12=48
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2
Đặt A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\)
Áp dụng BĐT đã CM ta có:
A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 4.4+8.4+12.4=16+32+48=96
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 96
hay A \(\geq\) 96
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2
Vậy MinA=96 khi và chỉ khi a=b=c=2
PC
4 tháng 4 2017
a)
Ta có :
\(\dfrac{a^2}{a-1}\ge4\) (1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a-1}\ge\dfrac{4a-4}{a-1}\left(\forall a-1\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (2)
BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) luôn đúng
Dấu bằng xảy ra chỉ khi và khi a = 2
3 tháng 4 2020
Ta có: BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)( CM bằng BĐT Shwars nha).Áp dụng ta có:
\(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{3a+2b+4c}\ge\frac{9}{9a+6b+12c}=\frac{3}{3a+2b+4c}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{3b+2c+4a}\ge\frac{9}{9b+6c+12a}=\frac{3}{3b+2c+4a}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{3c+2a+4b}\ge\frac{9}{9c+6a+12b}=\frac{3}{3c+2a+4b}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có:
\(2\left(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5c}+\frac{1}{c+3a+5b}\right)+\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\ge3\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\)
\(\Rightarrow2VP\ge2VT\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Ta có \(\frac{4a^2}{a-1}=\frac{4a^2-4+4}{a-1}=\frac{4\left(a^2-1\right)+4}{a-1}\)
\(=\frac{4\left(a-1\right)\left(a+1\right)+4}{a-1}=4\left(a+1\right)+\frac{4}{a-1}\)
\(=4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}+8\)
Vì \(a>1\Rightarrow a-1>0\), áp dụng bđt cosi cho 2 số 4(a-1) và \(\frac{4}{a-1}\)ta được
\(4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-1\right).4}{a-1}}=2\sqrt{4^2}=8\)
\(\Leftrightarrow4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}+8\ge16\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{a-1}\ge16\) (1)
Chững minh tương tự, ta được
\(\frac{5b^2}{b-1}\ge20\) (2)
\(\frac{3c^2}{c-1}\ge12\) (3)
Cộng (1)(2)(3) ta được
\(\frac{4a^2}{a-1}+\frac{5b^2}{b-1}+\frac{3b^2}{c-1}\ge48\)