K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 7 2016

Đăt  \(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ca+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8c\)  \(\left(\alpha\right)\)

Mình xin đề xuất một biện pháp khá ngắn gọn. Hy vọng bạn sẽ tìm cách khác.

Ta có: 

\(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

nên   \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow\)  \(2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\)  \(\left(1\right)\)

Mặt khác, ta cũng có:

\(a^2-2ca+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)

nên  \(\sqrt{a^2-2ca+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\)  \(\left(2\right)\)

Khi đó, ta cũng có thể thiết lập được bất đẳng thức tương tự như trên:

\(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế  các bđt  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được:

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ca+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}\)

Hay nói cách khác,  \(VT\left(\alpha\right)\ge4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8x=VP\left(\alpha\right)\)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=2c\)

26 tháng 7 2016

thanks

4 tháng 12 2016

\(A=n^4-16n^2+64+36=n^4+20n^2+100-36n^2=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(n^2+6n+10\right)\left(n^2-6n+10\right)\)
A là số nguyên tố và \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\) với mọi n nguyên dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=A\end{cases}}\). Đến đây đơn giản rồi nhỉ

4 tháng 12 2016

Bài 1:

Ta có: \(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\left(1\right)\).Ta cũng có:

\(a^2-2ac+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)

Nên \(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\left(2\right)\), tương tự ta cũng có \(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)

\(\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}=4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8c\)

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2c\)

29 tháng 10 2016

Ta có

\(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)

\(=\sqrt{\left(a-c\right)^2+3c^2}+\sqrt{\left(b-c\right)^2+3c^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b-2c\right)^2+3\left(c+c\right)^2}\)

\(=4c\)

Ta chứng minh

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge2c=\frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2-aB+b^2\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\left(dung\right)\)

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

29 tháng 10 2016

Đạt được khi a = b = 2c

1 tháng 11 2016

Ta có 

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{a+b}{2}=2×2c=4c\)

\(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\)

\(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\ge4c+\frac{a+b+4c}{2}=8c\)

Đề sai rồi đề đúng phải là

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8c\)

1 tháng 11 2016

VP=8C ms đúng ở đây 

Xem câu hỏi

14 tháng 12 2020

Áp dụng giả thiết và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(\sqrt{8a^2+48}=\sqrt{8\left(a^2+6\right)}=\sqrt{8\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le\left(2a+2b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)\(\sqrt{8b^2+48}=\sqrt{8\left(b^2+6\right)}=\sqrt{8\left(b^2+ab+2bc+2ca\right)}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(b+2c\right)}\le\left(2a+2b\right)+\left(b+2c\right)=2a+3b+2c\)\(\sqrt{4c^2+6}=\sqrt{4c^2+ab+2bc+2ca}=\sqrt{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\le\frac{\left(2c+a\right)+\left(2c+b\right)}{2}=\frac{4c+a+b}{2}\)Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{8a^2+48}+\sqrt{8b^2+48}+\sqrt{4c^2+6}\le\frac{11}{2}a+\frac{11}{2}b+6c\)

\(\Rightarrow\frac{11a+11b+12c}{\sqrt{8a^2+48}+\sqrt{8b^2+48}+\sqrt{4c^2+6}}\ge\frac{11a+11b+12c}{\frac{11}{2}a+\frac{11}{2}b+6c}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}ab+2bc+2ca=6\\a+2b=2c;b+2a=2c;a=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\sqrt{\frac{6}{7}}\\c=\frac{3\sqrt{42}}{14}\end{cases}}\)

28 tháng 4 2020

Ta có : 

\(A=\sqrt{\left(2a-3b\right)^2}+2\sqrt{\left(b-c\right)^2}+\sqrt{\left(2c-3a\right)^2}\)

\(A=\left|2a-3b\right|+2\left|b-c\right|+\left|2c-3a\right|\)

\(\ge3b-2a+2\left(c-b\right)+\left(3a-2c\right)=a+b\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3b-2a,c-b,3a-2c\ge0\\a=b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\1\le c\le\frac{3}{2}\end{cases}}}\)

Vậy Min A = 2 khi a = b = 1 và c \(\in\)\(\left[1,\frac{3}{2}\right]\)

22 tháng 5 2019

Ta có:\(\sqrt{4a+3b+2}\le\frac{9+4a+3b+2}{6}=\frac{4a+3b+11}{6}\)

\(\Rightarrow\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}\ge6.\sum\frac{a^2}{4a+3b+11}\)

Lại có:\(6.\sum\frac{a^2}{4a+3b+11}\ge6.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{7\left(a+b+c\right)+33}=\frac{54}{54}=1\)

\(\Rightarrow\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}\ge1\)

"="<=>x=y=z=1

NV
22 tháng 5 2019

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{4a+3b+2}+\sqrt{4b+3c+2}+\sqrt{4c+3a+2}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+3b+2+4b+3c+2+4c+3a+2\right)}}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{3\left(7\left(a+b+c\right)+6\right)}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)