Chứng minh: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 9 2021
Em tham khảo:
cho 3 số x,y,z đôi một khác nhau và x+y+z=0 Tính\(P=\dfrac{2018\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2xy^2+2... - Hoc24
KB
3 tháng 3 2019
Ta có \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=-z^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Đặt \(A=2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz=2xy^2+2yz^2+2zx^2+x^3+y^3+z^3\)
\(=x^2\left(2z+x\right)+y^2\left(2x+y\right)+z^2\left(2y+z\right)\)
Do \(x+y+z=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2z+x=z-y\\2x+y=x-z\\2y+z=y-x\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow A=x^2\left(z-y\right)+y^2\left(x-z\right)+z^2\left(y-x\right)\)
\(=x^2\left(z-y\right)-y^2\left(z-y+y-x\right)+z^2\left(y-x\right)\)
\(=\left(x^2-y^2\right)\left(z-y\right)-\left(z^2-y^2\right)\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(x+y-z-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2018\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{A}=2018\)
\(\Rightarrow P=2018\)
Vậy \(P=2018\)
TA
1
30 tháng 7 2018
\(\left(x+y+z\right)^2\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)z+z^2\)
\(=x^2+2xy+y^2+2xz+2xy+z^2\)
NH
17 tháng 8 2019
a, \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)z+z^2\)\(=x^2+2xy+y^2+2zx+2zy+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)(đpcm)
b, \(\left(x+y+z\right)^3=\left(\left(x+y\right)+z\right)^3=\left(x+y\right)^3+z^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(xy+z\left(x+y+z\right)\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(xy+zx+zy+z^2\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
=[(x+y)+z]2
=(x+y)2+2(x+y)z+z2
=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2
=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz