Cho a,b,c là các số thực dương.CMR; \(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\right)\left(\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}\right).=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
4
TT
11 tháng 10 2020
Dự đoán bđt xảy ra tại \(a=b=c\)
Đánh giá bđt trên theo bđt Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}=\frac{a^2}{ab+2ac}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+ac+bc\right)}\)
Bài toán hoàn tất khi chỉ ra được \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+ac+bc\right)}\ge1\)Nhưng đánh giá này chính là\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ca+bc\right)\)
Vậy bđt được chứng minh
11 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\) (Bunhiacopxki dạng cộng mẫu)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
LV
cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
\(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
0
NT
cho a;b;c là các số thực dương.CMR:\(a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab}\ge2ab+2bc+2ca\)
1
9 tháng 8 2017
biếng làm nên đưa link Cộng Đồng MathVn - Diễn đàn thảo luận: Chứng minh BĐT
bất đẳng thức chứa căn..... - Diễn Đàn MathScope
$a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab}\geq 2(ab+bc+ca)$ - Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức - Diễn đàn Toán học
TN
11 tháng 8 2017
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) thì cần c/m
\(\sqrt{\frac{a}{3-a}}+\sqrt{\frac{b}{3-b}}+\sqrt{\frac{c}{3-c}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\sqrt{\frac{a}{3-a}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{3\left(a-1\right)^2\left(3a-1\right)}{32\left(3-a\right)}}{\sqrt{\frac{a}{3-a}}+\frac{3\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}}\ge0\forall0< a< 3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{\frac{b}{3-b}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}b+\frac{\sqrt{2}}{8};\sqrt{\frac{c}{3-c}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}c+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}\left(a+b+c\right)+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot3=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2022
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2-bc}=\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2+\left(b-c\right)^2}\le\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}=\dfrac{2a^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2-ac}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
\(\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2-ab}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2+a^2}{a^2+c^2}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
16 tháng 9 2017
Hơi khó :)) mình ms lớp 8
Ta có : \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}=6\)(AM - GM) (1)
Ta lại có : \(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)(AM - GM)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)(2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)(đpcm)
LV
16 tháng 9 2017
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{3}{\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)}\)sai
TN
23 tháng 9 2017
Đặt \(\left(\frac{a}{b+c};\frac{b}{c+a};\frac{c}{a+b}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) Khi đó ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2+14xyz\ge4\)
Theo BĐT Nesbit \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}\)
\(VT=\left(x+y+z\right)^2+14xyz=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+14xyz\)
\(=x^2+y^2+z^2+6xyz+2\left(xy+yz+xz\right)+8xyz\)
\(\ge x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}+2\left(xy+yz+xz\right)+8xyz\)
\(\ge4\left(xy+yz+xz\right)+8xyz=4\)
CB
5 tháng 5 2019
Cách này xem có đúng không nha bạn
Dự đoán điểm rơi: a=b=c (Để có thể dễ áp dụng AM-GM mà không sai)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\a+c=z\end{cases}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}=\frac{x+z-y}{2y}\\\frac{b}{c+a}=\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}=\frac{x+y-z}{2z}\\\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}=\frac{y+z-x}{2x}\end{cases}}\)
Thế vào:
\(VT=\left(\frac{3}{2}+\frac{x+z-y}{2y}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{x+y-z}{2z}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{y+z-x}{2x}\right)\)
\(=\frac{3y+x+z-y}{2y}\cdot\frac{3z+x+y-z}{2z}+\frac{3x+y+z-x}{2x}\)
\(=\frac{x+z+2y}{2y}\cdot\frac{x+y+2z}{2z}\cdot\frac{y+z+2x}{2x}\)
\(=\frac{x+z+y+y}{2y}\cdot\frac{x+y+z+z}{2z}\cdot\frac{y+z+x+x}{2x}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2z}\cdot4\sqrt[4]{xyz^2}\cdot4\sqrt[4]{x^2yz}}{8xyz}=\frac{64\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{8xyz}=8\)
Vậy suy ra đpcm.
Mik đặt x+z+y+y và x+y+z+z và y+z+x+x ra rồi áp dụng AM-GM cho 4 số thực dương vì lúc đó bất đẳng thức có điểm rơi khi x=y=z hay a=b=c đúng với điểm rơi của Bđt cần CM.
Học tốt! Share thêm bài nha
T
5 tháng 5 2019
Chắc ok đấy.Mình đăng lời giải của tạp chí Toán tuổi thơ nha!
Lời giải (chú ý là của tạp chí Toán tuổi thơ chứ không phải của mình)
Ta có: \(\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}=\frac{3b+3c+2a}{2\left(b+c\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\);
\(2\left(\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\left(b+c\right)\right)\ge4\sqrt[4]{\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)^2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và nhân theo vế suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b = b + c = c + a <=> a = b =c