Question

[Minh Nguyễn]

CHO \(a=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)}-\frac{\sqrt{2}}{8}\)

TÍNH \(S=a^2+\sqrt{a^4+a+1}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Ta có : 

\(a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\Leftrightarrow8a=\sqrt{16\sqrt{2}+2}-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(8a+\sqrt{2}\right)^2=16\sqrt{2}+2\)

\(\Leftrightarrow64a^2+16a\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2\Leftrightarrow4a^2+a\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow4a^2=\sqrt{2}-a\sqrt{2}\)

Đặt \(P=\sqrt{a^4+a+1}-a^2\)

Ta có : \(S=\sqrt{a^4+a+1}+a^2\Rightarrow SP=a+1\Rightarrow S\left(-P\right)=-\left(a+1\right)\)

\(S-P=2a^2=\frac{\sqrt{2}-a\sqrt{2}}{2}=\frac{1-a}{\sqrt{2}}\)

Ta có thể xem S và (-P) là các nghiệm của phương trình : \(x^2-\frac{\left(1-a\right)}{\sqrt{2}}t-\left(a+1\right)=0\)

Giải phương trình trên ta có hai nghiệm : \(x_1=\sqrt{2}\)và \(x_2=-\frac{a+1}{\sqrt{2}}\)

Vậy \(S=\sqrt{2}\)( vì S > 0 )