cho a,b,c>0 và abc=a+b+c. chứng minh : a^/b^3 +b/c^3 +c/a^3 >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(1)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
$a^3+a\geq 2a^2$
$b^3+b\geq 2b^2$
$c^3+c\geq 2c^2$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)$
Lại có:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c)-3$
$\geq a+b+c+3-3=a+b+c(2)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq a^2+b^2+c^2(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ ta có đpcm.
11 tháng 4 2023
3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)
1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0
=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0
=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)
8 tháng 12 2016
Từ \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
Mà \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}=-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Khi đó
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^3=-\frac{3}{bc}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=-\frac{3}{bc}\cdot\frac{-1}{a}=\frac{3}{abc}\)
HT
0
4 tháng 1 2016
nhầm làm lại nha ^^
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2
=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2
=>2(ab+bc+ac)=0
=>ab+bc+ac=0
=>(ab+bc+ac)/abc=0
=>ab/abc+bc/abc+ac/abc=0
=>1/c+1/a+1/b=0
=> 1/a+1/b=-1/c
=> (1/a+1/b)^3=(-1/c)^3
=> 1/a^3+1/b^3+3/ab(1/a+1/b)=-1/c^3
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3+3/ab.(-1/c)=0
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3-3/abc=0
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/abc (đpcm)
4 tháng 1 2016
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2
2(ab+bc+ac)=0
ab+bc+ac=0
(ab+bc+ac)/abc=0
ab/abc+bc/abc+ac/abc=0
1/c+1/a+1/b=0
=> 1/a+1/b=-1/c
=> (1/a+1/b)^3=(-1/c)^3
=> 1/a^3+1/b^3+3.(1/a.)(1/b).(1/a+1/b)=-1/c^3
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3.3ab.(-1/c)=0
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/abc