Giả sử a,b là các số nguyên dương sao cho \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) là một số nguyên dương. Gọi d là ước của a,b. Chứng minh rằng d bé hơn hoặc bằng\(\sqrt{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
7 tháng 7 2016
d là ước dương của a và b suy ra: \(\hept{\begin{cases}a=d.a^'\\b=d.b^'\end{cases}}\)
có \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\)nguyên dương suy ra \(\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\)nguyên dương\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b\)chia hết cho a.b
có \(a.b=d.a^'.d.b^'=a^'.b^'d^2\Rightarrow a^2+b^2+a+b\)chia hết cho \(d^2\)
ta có: \(a^2+b^2+a+b=d^2.\left(a^'\right)^2+d^2\left(b^'\right)^2+d.a^'+d.b^'\)
\(=d\left(d\left(a^'\right)^2+d\left(b^'\right)^2+a^'+b^'\right)\)chia hết cho \(d^2\)
suy ra \(d\left(a^'\right)^2+d\left(b^'\right)^2+a^'+b^'=d\left(a^'+b^'\right)+a^'+b^'\)chia hết cho d \(\Rightarrow a^'+b^'\)chia hết cho d.\(\Rightarrow a^'+b^'\ge d\Leftrightarrow d.a^'+d.b^'\ge d^2\Leftrightarrow a+b\ge d^2\Leftrightarrow d\le\sqrt{a+b}\)
12 tháng 9 2018
Đây là số học lớp 10.
Thiếu\(\left(a;b\right)=d\)
Vì \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\inℤ\Rightarrow a^2+b^2+a+b⋮ab\)
Lại có:\(\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)Suy ra ab\(⋮\)\(d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b⋮d^2\)
Mà \(a^2+b^2⋮d^2\)
Suy ra \(a+b⋮d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\)(đpcm)
15 tháng 11 2023
Đặt
X
=
a
+
1
b
+
b
+
1
a
=
a
2
+
b
2
+
a
+
b
a
b
Vì X là số tự nhiên =>
a
2
+
b
2
+
a
+
b
⋮
a
b
Vì d=UCLN(a,b) =>
a
⋮
d
và
b
⋮
d
=>
a
b
⋮
d
2
=>
a
2
+
b
2
+
a
+
b
⋮
d
2
Lại vì
a
⋮
d
và
b
⋮
d
=>
a
2
⋮
d
2
và
b
2
⋮
d
2
=>
a
2
+
b
2
⋮
d
2
=>
a
+
b
⋮
d
2
=>
a
+
b
≥
d
2
(đpcm)
Ta có: \(\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\) là số nguyên \(\Rightarrow\left(a^2+b^2+a+b\right)⋮d^2\)
Mà \(a^2,b^2⋮d^2\Rightarrow\left(a+b\right)⋮d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\) hay \(d\le\sqrt{a+b}\) (đpcm)