cho a,b,c la 3 canh cua 1 tam giac.biet :(a+b)(b+c)(c+a)=8abc
chưng minh tam giac da cho là tam giác đều
giúp mk nha.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CL
2
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
8 tháng 5 2021
ta có \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}.\)
áp dụng vào bài ta có\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9>6\)
XO
8 tháng 5 2021
Ta có :\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Nhận thấy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Thật vậy ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
<=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{đúng}\right)\)
Tương tự ta chứng minh được \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\end{cases}}\)
Khi đó \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2\ge9>6\)(đpcm)
TA
0
5 tháng 1 2020
Sửa đề: Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA (xem lại đoạn này)
CM: Xét t/giác ABD và t/giác EBD
có: AB = BE (gt)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)(gt)
BD : chung
=> t/giác ABD = t/giác EBD (c.g.c)
b) Ta có : t/giác ABD = t/giác EBD (cmt)
=> AD = DE (2 cạnh t/ứng)
=> \(\widehat{A}=\widehat{BED}=90^0\)(2 góc t/ứng) => \(DE\perp BC\)
c) Ta có: AB = BE (gt) => B \(\in\)đường trung trực của AE
AD = DE (cmt) => D \(\in\)đường trung trực của AE
mà B \(\ne\)D => BD là đường trung trực của AE
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và a + b > c, b + c > a, c + a > b (ĐK).
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\left(2\right)\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\left(3\right)\)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta có :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2^3.\sqrt{ab.bc.ca}=8abc\)
Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc nên dấu "=" ở BĐT trên sẽ xảy ra, tức là khi và chỉ khi a = b = c (TMĐK) hay tam giác có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện trên là tam giác đều.
bài này chỉ biết áp dụng cô-si thôi chứ ko biết chứng minh tam giác đều