GHPT: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2y}+\sqrt{4x+y}=5\\x-y=1\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 2 2021
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ y > 1\\ x + y > 0 \end{array} \right.\)
Hệ phương trình tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} + \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} = 2\\ {\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x + y}}} \right)^2} + \left( {\dfrac{{y - 1}}{{x + y}}} \right)^2 = 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} a = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{x + 2}}} \\ b = \sqrt {\dfrac{{x + y}}{{y - 1}}} \end{array} \right.\) (với \(a,b > 0\))
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} = 2 \end{array} \right.\left( * \right)\)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(\begin{array}{l} 2 = a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \Rightarrow ab \leqslant 1\\ 2 = \dfrac{1}{{{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^4}}} \geqslant 2\sqrt {\dfrac{1}{{{a^4}}}.\dfrac{1}{{{b^4}}}} \Rightarrow ab \geqslant 1 \end{array}\)
Thế nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow a = b = 1\)
Ta lại có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{x + y}}{{x + 2}} = 1\\ \dfrac{{x + y}}{{y - 1}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 2 \end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là \((-1;2)\)
20 tháng 2 2021
Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\y>1\\x+y>0\end{matrix}\right.\)
hpt\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=2\\2\left(x+y\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=2\\\left(\dfrac{x+2}{x+y}\right)^2+\left(\dfrac{y-1}{x+y}\right)^2=2\end{matrix}\right.\)
Đặt \(a=\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}},b=\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}\left(a,b>0\right)\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^4+b^4=2a^4b^4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]^2-2a^2b^2=2a^4b^4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left(4-2ab\right)^2-2a^2b^2=2a^4b^4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^4b^4=a^2b^2-8ab+8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\a^2b^2\left(a^2b^2-1\right)+8\left(ab-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\\left(ab-1\right)\left[a^2b^2\left(ab+1\right)+8\right]=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\ab-1\end{matrix}\right.\left(a,b>0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+y}{x+2}}=1\\\sqrt{\dfrac{x+y}{y-1}}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=x+2\\x+y=y-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
Từ pt thứ nhất: \(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}=\left(-y\right)+\sqrt{\left(-y\right)^2+1}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t+\sqrt{t^2+1}\Rightarrow f'\left(t\right)=1+\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}\)
\(f'\left(t\right)>\dfrac{t+\sqrt{t^2}}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t+\left|t\right|}{\sqrt{t^2+1}}\ge0\Rightarrow f'\left(t\right)>0\) ; \(\forall t\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow x+1=-y\Rightarrow y=-x-1\)
Thế xuống pt dưới:
\(x^3-\left(3x^2-2x-8\right)\sqrt{2x^2+x-1}=0\)
Bạn coi lại đề, pt vô tỉ này ko giải được
25 tháng 10 2021
\(ĐK:x\le6;y\ge3\\ \left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=xy+4\left(1\right)\\x^2-x-3-x\sqrt{6-x}=\left(y-3\right)\sqrt{y-3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-4+2y-xy=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)-y\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-y+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=y-2\end{matrix}\right.\)
Từ đó thế vào PT(2)
UK
3 tháng 3 2019
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
UK
3 tháng 3 2019
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
NT
1
31 tháng 1 2021
Mk hướng dẫn bạn cách làm thôi nha (Tại nó dài lắm!)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy^2+2y^2-2=x^2+3x\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\) (y \(\ge\) 1)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}y^2\left(x+2\right)-\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y^2-x-1\right)=0\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\y^2-x-1=0\end{matrix}\right.\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=y^2-1\end{matrix}\right.\\x+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)
Xét các TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\-2+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)
Giải hpt tìm được: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{13+\sqrt{117}}{2}\left(TM\right)\\y=\dfrac{13-\sqrt{117}}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) y = \(\dfrac{13+\sqrt{117}}{2}\)
Vậy ...
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y^2-1\\y^2-1+y=3\sqrt{y-1}\end{matrix}\right.\)
Chứng minh được pt thứ hai vô nghiệm
Vậy ...
Chúc bn học tốt!