Question

[Bùi Thị Phương Anh]

Cho (O;R) , A nằm ngoài đường tròn . Qua A kẻ tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B , C là tiếp điểm ) . Vẽ tia Ax nằm giữa tia AB , AO cắt nhau tại M , N 

a, chứng minh A , B , C , D thuộc đường tròn

b, chứng minh BC \(\perp\) AO = \(\left\{H\right\}\)

c, tính OH.OA theo R ( R là bán kính của (O) )

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Sửa đề: Chứng minh A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

Gọi D là trung điểm của AO

Ta có: ΔBOA vuông tại B(AB là tiếp tuyến của (O) có B là tiếp điểm)

mà BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(D là trung điểm của OA)

nên \(BD=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(OD=DA=\dfrac{OA}{2}\)(D là trung điểm của OA)

nên BD=OD=DA(1)

Ta có: ΔOCA vuông tại C(CA là tiếp tuyến của (O) có C là tiếp điểm)

mà CD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(D là trung điểm của OA)

nên \(CD=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(OD=AD=\dfrac{OA}{2}\)(D là trung điểm của OA)

nên CD=OD=AD(2)

Từ (1) và (2) suy ra DB=DA=DC=DO

hay A,B,C,O cùng thuộc đường tròn (D)

b) Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra AO là đường trung trực của BC

hay AO\(\perp\)BC(đpcm)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền OA(BC\(\perp\)OA tại H), ta được: 

\(OH\cdot OA=OB^2\)

mà OB=R(B\(\in\)(O;R))

nên \(OH\cdot OA=R^2\)

Vậy: \(OH\cdot OA=R^2\)