n^3+6n^2+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
n chẵn => n = 2k (k \(\in\)N)
n3 + 6n2 + 8n = (2k)3 + 6.(2k)2 + 8.(2k) = 8k3 + 24.k2 + 16k = 8k. (k2 + 3k + 2) = 8k.(k2 + 2k + k + 2)
= 8k. [k(k +2) + (k+2)] = 8k.(k+1).(k+2)
Nhận xét: k; k+1; k+ 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6
=> 8k.(k+1).(k+2) chia hết cho 8.6 = 48
=> n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
n3 + 6n2 + 8n = n(n+2)(n+4) (1)
Vì n chẵn nên n = 2k
(1) = 8k(k+1)(k+2)
Ta thấy k(k+1)(k+2) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 vậy n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 6×8 = 48
\(n^3+6n^2+8n=n\left(n^2+6n+8\right)=n\left[n^2\left(n+6\right)+8\right]\)\(=n\left[n\left(n+4+2\right)+8\right]=n\left[n\left(n+4\right)+2n+8\right]\)\(=n\left[n\left(n+4\right)+2\left(n+4\right)\right]=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)(1)
Vì n là số chẵn nên n=2k(k thuộc n)(2)
Thế (2) vào (1),ta có:
\(2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Vì k(k+1)(k+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên biểu thức trên chia hết cho 6 và vì biểu thức trên có nhân tử là 8 nên nó chia hết cho 8 và sẽ chia hết cho 48
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)
\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)
\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)
\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn
b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)
\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)
\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a,n3+6n2+8n=n3+2n2+4n2+8n=n2(n+2)+4n(n+2)=(n+2)(n2+4n)=n(n+2)(n+4)
dễ thấy đây là tích 2 số chẵn liên tiếp ,trong 3 số chẵn liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 4
=>n(n+2)(n+4) chia hết cho 16
n chẵn nên n chia 3 dư 1 hoặc n chia 3 dư 2
+n chia 3 dư 1 => n+2 chia hết cho 3
+n chia 3 dư 2 =>n+4 chia hết cho 3
=> n(n+2)(n+3) chia hết cho 3
Tóm lại n3+6n2+8n chia heêtt1 cho 3.16=48
hình như mk làm chưa logic lắm,để làm lại:
Vì n chẵn =>n=2k
n3+6n2+8n=(2k)3+6(2k)2+8.2k=8k3+24k2+16k=8k(k2+3k+2)=8k(k+1)(k+2)
Vì k,k+1,k+2 là 3 SN liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2 và 3 ,mà (2;3)=1 =>tích của chúng cũng chia hết cho 6
=>8k(k+1)(k+2) chia hết cho 8.6=48
\(n^3+6.n^2+8n=n.\left(n+2\right).\left(n+4\right)\left(nchan\right)\)(1)
+)Ta có: n là số chẵn
=>n=2k (k\(\in Z\))
+)Thay n=2k vào (1) được:
\(2k.\left(2k+2\right).\left(2k+4\right)=2k.2.\left(k+1\right).2.\left(k+2\right)\)
\(=8k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)\)
+)\(8k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)=8.\left(k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)\right)\)
Vì k.(k+1).(k+2) là 3 số liên tiếp lên chắc chắn có một số chia hết cho 2;cho 3
Mà \(ƯCLN\left(2,3\right)=1\)
\(\Rightarrow\)k.(k+1).(k+2)\(⋮6\)
\(\Rightarrow8.\left(k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)\right)⋮8.6\)
\(\Rightarrow8.\left(k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)\right)⋮48\)
Hay \(n^3+6n^2+8n⋮48\)
Chúc bạn học tốt