tìm n thuộc N để 23n + 1971 là số chính phương
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có 1971 chia 4 dư 3
Mà số chính phương là số chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
=>23n chia 4 dư 1 hoặc dư 2
23n chia 4 dư 2 <=>23n là số chẵn(vô lí)
=>23n chia 4 dư 1
Ta có:23 = 3(mod 4)
23n=3n(mod 4)
=>3n chia 4 dư 1
Xét n nhỏ nhất để 3n chia 4 dư 1 là 2(32=9 chia 4 dư 1)
=>3n là bội của 9(n khác 0)
=> n là số chẵn khác 0
Vậy n chẵn và khác 0 thì...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
TH1: n = 2k+1 (k∈N) (tức là n lẻ)
\(23^n\)+1971 chia 3 dư 2 => không là số chính phương
TH2: n=2k (tức là n chẵn)
\(^{23^n}\)+1971= \(23^{2k}\)+1971=> \(a^2\)(a−\(23^k\))(a+\(23^k\))= 1971 = 1.1971= 27.73
(a và 23 không chia hết cho 3 nên ta loại bớt trường hợp a−\(23^k\) , a+\(23^k\) đồng thời chia hết 3)
Giải hệ phương trình trên, được k=1 hay n=2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có
\(n^2< n^2+n+6< n^2+6n+9\)
\(\Leftrightarrow n^2< n^2+n+6< \left(n+3\right)^2\)
Vì n2 +n+ 6 là số chính phương nên
\(\left(n^2+n+6\right)=\left(\left(n+1\right)^2;\left(n+2\right)^2\right)\)
Thế vô giải ra được n = 5
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)