Cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với AB tại D. Chứng minh ABC vuông tại D khi và chỉ khi CA.CB=2DA.DB
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 11 2021
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của AC, BC với (I).
Đặt \(AD=AE=a;BD=BF=b;CE=CF=c\)
Vì \(CA.CB=2DA.DB\left(gt\right)\)\(\Rightarrow\left(c+a\right)\left(c+b\right)=2ab\Rightarrow c^2+bc+ac+ab=2ab\Rightarrow c^2+bc+ac=ab\)
\(\Rightarrow2c^2+2bc+2ac=2ab\Rightarrow c^2+2bc+b^2+c^2+2ac+a^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(c+b\right)^2+\left(c+a\right)^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow BC^2+AC^2=AB^2\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại C theo định lí Pytago đảo.
Vậy ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2022
Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)=0\)
Gọi các tiếp điểm với AB và AC là E và F
Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau:
\(BD=BE\) ; \(AE=AF\) ; \(CD=CF\)
Mà \(BD+CD=BC;AE+BE=AB;AF+CF=AC\)
\(\Rightarrow BC+AB-AC=BD+CD+AB+BE-AF-CF=BD+BE=2BD\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{BC+AB-AC}{2}\)
Tương tự: \(BC+AC-AB=2DC\Rightarrow DC=\dfrac{BC+AC-AB}{2}\)
\(\Rightarrow BD.DC=\dfrac{1}{4}\left(BC+AB-AC\right)\left(BC+AC-AB\right)=\dfrac{1}{4}\left[BC^2-\left(AB-AC\right)^2\right]\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)+2AB.AC\right)=\dfrac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}\)
DX
21 tháng 2 2016
\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{ID}\left(\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}\)
\(=IA'^2-\left(\overrightarrow{IC'}+\overrightarrow{C'D}\right)\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{IC'}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{C'D}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-IC'^2-0\) (vì AI vuông góc với C'B')
\(=r^2-r^2=0\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
ĐFCM
